原文鏈接：

拓端數據科技 / Welcome to tecdat?tecdat.cn

在保險業(yè)中，由于分散投資，通常會在合法的大型投資組合中提及大數定律。在一定時期內，損失“可預測”。當然，在標準的統(tǒng)計假設下，即有限的期望值和獨立性。由于在保險業(yè)中，災難通常很少發(fā)生，而且代價非常高昂，精算師可能有興趣對少量事件的發(fā)生進行建模。背后的定理有時也被稱為小數定律。

泊松分布

所謂的泊松分布（請參閱http://en.wikipedia.org/…）由SiméonPoisson于1837年進行了介紹。亞伯拉罕·德·莫伊夫（Abraham De Moivre）于1711年在De Mensura Sortis seu對其進行了定義。

讓

表示一個計數隨機變量，然后它是服從泊松分布，如果有

這

De Moivre從二項式分布的近似值獲得了該分布。回想一下，二項式分布是精算科學中的標準分布，例如，用來模擬

被保險人死亡人數 。如果單個死亡概率相同，例如

，并且如果死亡是獨立事件，則

而如果

和

，然后

再次，這是一個漸近定理，當我們有很多觀察值時（

）成立，它也成立，而且出現的可能性應該非常小（因為

），這就是為什么要使用術語“ 小數”的原因。SiméonPoisson對數學近似值不感興趣：他的主要觀點是針對他正在處理的數據獲得具有良好擬合優(yōu)度的分布。

小數定律

與Poisson分布有關的主要定理的啟發(fā)式如下：

表示iid隨機變量采用值

（一般情況下，一個分量可以是時間，另一分量可以是感興趣的上部區(qū)域，其中某些隨機過程是可能）。讓

。如果

作為假設

（或

更具體地假設），則

表示事件的（隨機變量表征）計數

，則

可以通過帶有參數的泊松分布來近似

。
啟發(fā)式方法是，如果考慮大量觀察值，并且計算給定（小）區(qū)域中有多少觀察值，則此類觀察值的數量就是泊松分布。

n=1000

polygon(c(u,rev(u)),c(v,rev(-v)),col="yellow",border=NA)

I=(X^2+Y^2)<1

points(X[I],Y[I],cex=.6,pch=19,col="red")

如果我們進行一些模擬

> n=1000

> ns=100000

> N=rep(NA,ns)

>

+

+

+

+

+

>

> mean(N)

[1] 31.41257

泊松分布的參數是黃色圓盤的面積，即正方形的面積，即

> lines(0:60-.5,dpois(0:60,lambda),type="b",col="red")

為了獲得與保險模型有關的解釋，讓我們

在再保險合同中表示上層，即

某些可扣除額

。讓我們

來表示個人損失。然后，可以使用泊松分布對到達該上層的索賠的數量進行建模。更準確地說，如果自付額

變得非常大（和

），我們將獲得極值理論中的閾值點以上模型：如果

有一個泊松分布，并在有條件的

，

是獨立同分布的廣義帕累托隨機變量，然后

具有廣義的極值分布。因此，超出模型（針對罕見事件）與泊松過程密切相關。

泊松過程

如上所述，當事件以某種方式隨機且獨立地隨時間發(fā)生時，就會出現泊松分布。然后很自然地研究兩次事件之間的時間（或在保險范圍內兩次索賠）。

泊松分布和索賠發(fā)生

既不是SiméonPoisson也不是De Moivre，而是Ladislaus Von Bortkiewicz首先提到了Poisson分布是小數定律。1898年，他研究了1875年至1894年間被馬踢倒殺死的士兵的人數，其中有200個兵團。

他確實獲得了以下分布（此處，泊松分布的參數為0.61，即每年的平均死亡人數）

在很多情況下，泊松分布都非常適合。例如，如果我們考慮1850年后在佛羅里達州的颶風數量，

泊松分布和回歸期

返回期是由Emil Gumbel在水文學中介紹的，用于鏈接概率和持續(xù)時間。十年事件的發(fā)生概率為1/10。那么10是發(fā)生之前的平均等待時間。這并不意味著該事件不會在10年之前發(fā)生，或者必須在10年之前發(fā)生。考慮一個返回期

（以年為單位），則每年不出現的概率為

。

則

多年未發(fā)生的概率為

。通常用下表來總結此屬性，

上表中的對角線非常有趣。似乎在某種程度上趨向極限值（此處為63.2％）。在n年內觀察到的事件數量具有二項式分布，其概率為

，將收斂到參數為1的泊松分布。那么

，沒有災難的概率為，等于0.632。

稀有概率與泊松分布

計算稀有事件的概率時，泊松分布不斷出現。例如，在50年的時間里，至少有一次在核電廠發(fā)生事故的可能性。假設在反應堆中發(fā)生事故的年概率

很小，例如0.05％。進一步假設反應堆在時間上相互獨立。在50年內發(fā)生超過80個反應堆的事件的概率是

當然，線性近似是不正確的

另一方面

>

>

[1] 0.1812733

>

[1] 0.1812692

這是具有參數為的泊松分布

時為零 的概率 。我們在這里清楚地看到近似在風險管理中的應用。

解決這個問題的另一種方法是基于以下思想：鑒于在對全球450座反應堆進行的45年觀察中（，觀察到了三起重大事故，包括“三哩島”（1979年）和“福島”（2011年），即兩次事故之間的平均時間估計為16年。對于單個反應堆，我們可假設事件發(fā)生之前等待的平均時間是16年的450倍，即7200年。或者，一個反應堆在一年內發(fā)生一次事件的概率是7200以上的事件之一（這是“返還期”概念背后的想法）。如果我們假設事故的到來是隨機且彼此獨立發(fā)生的（如上定義），則在50年內觀察到的重大事故數量遵循參數為50 /（7200/80）的泊松分布。也，

即

>

[1] 0.4262466

---

參考文獻
1.R語言泊松Poisson回歸模型分析案例
2.R語言進行數值模擬：模擬泊松回歸模型
3.r語言泊松回歸分析
4.R語言對布豐投針（蒲豐投針）實驗進行模擬和動態(tài)可視化
5.用R語言模擬混合制排隊隨機服務排隊系統(tǒng)
6.GARCH（1,1），MA以及歷史模擬法的VaR比較
7.R語言做復雜金融產品的幾何布朗運動的模擬
8.R語言進行數值模擬：模擬泊松回歸模型
9.R語言對巨災風險下的再保險合同定價研究案例：廣義線性模型和帕累托分布Pareto distributions

總結

以上是生活随笔為你收集整理的语言模拟蒲丰问题_R语言小数定律的保险业应用：泊松分布模拟索赔次数的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。