摘要

本文內容包括：

• 三維空間中射線與平面的表示方法，
• 三維空間中判斷射線與平面是否相交。

文末參考鏈接的資料都不錯，但總漏點東西，所以把它們說總結到了一起。

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三維空間中射線的表示方法

射線可以用三個量來表示：射線的起始點、射線的方向向量以及射線的長度。

如圖所示的射線的參數方程為：
$$P(t)=P_0^{{}^{\prime }}+tu$$
其中，$P(t)$為射線上的點，其所有可能的結果構成了整條射線；$P_0^{{}^{\prime }}$是射線的起點，$u$ 為射線的方向向量，$t$為射線的長度且$t\in [0,\infty )$

三維空間中平面的表示方法

平面可以用二個量來表示：平面上任一點，過該點的平面法向量。

如圖所示的平面的參數方程為：
$$(P?P_0)n=0$$
其中，$P$為變量，其所有可能的結果組成了這個平面；$P_0$為平面上已知的某一點，$n$為平面上過已知點$P_0$的法向量。
公式的物理意義為：$(P?P_0)$表示平面上的向量，其與平面法向量$n$總是垂直的，故它們之間的內積為0.

三維空間中射線與平面是否相交的判斷方法

射線不同于直線，射線存在起始點和方向，它與平面存在3種情況：

射線與平面平行。這時候肯定不相交。

射線與平面不平行。但平面在射線負方向，這時候也不相交。

射線與平面不平行。且平面在射線正方向，這時候射線與平面相交。

下面分情況討論。
$nu=0$時，表示射線與平面平行，這時候肯定不相交。
$nu=0$時，表示射線與平面不平行，這時候射線所在的直線與平面必定相交于一點，記該點為$P(t)$，那么有：
$$(P_0?P(t))n=0$$
帶入射線參數方程$P(t)=P_0^{{}^{\prime }}+tu$， 有
$$(P_0?P_0^{{}^{\prime }}?tu)n=0$$
解之得
$$t=\frac{(P_0?P_0^{{}^{\prime }})n}{un}$$注意，這里是向量點積，所以分子分母的$n$不能消掉。
所以我們可以求出射線所在的直線與平面交點
$$P(t)=P_0^{{}^{\prime }}+tu=P_0^{{}^{\prime }}+\frac{(P_0?P_0^{{}^{\prime }})n}{un}u$$
那么如何判斷射線是否與平面相交呢？
當$t>=0$時，交點在射線正方向上，所以射線與平面相交，交點即為P(t)；
當$t<0$時，交點在射線負方向上，所以射線與平面不相交，但射線所在的直線與平面相交。

相關/參考鏈接

• 射線與平面相交判斷 | 講得我覺得最好的，但是沒有講分母為0為射線與平面平行的情況
• 射線與平面相交 | 講了分母為零的情況
• 射線、平面的表示方式 | 講得很簡潔，但是有地方沒講清楚

總結

以上是生活随笔為你收集整理的三维空间中判断射线与平面是否相交的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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