第四章 相關(guān)系數(shù)

　　[內(nèi)容導(dǎo)讀]
　　本章的內(nèi)容在課程中具有承上啟下的重要作用。一方面，相關(guān)系數(shù)是反映與描述一組數(shù)據(jù)的概括性特征量數(shù)，只不過這里的數(shù)據(jù)是二元變量的觀測數(shù)據(jù)。另一方面，對相關(guān)系數(shù)內(nèi)容的理解與掌握，是建立在散點圖、平均數(shù)、離差、標準差與方差等 內(nèi)容的基礎(chǔ)上的 。另外，相關(guān)分析的思想方法對于學(xué)習與研究后續(xù)章節(jié)有關(guān)教育測驗理論或考試理論具有重要的作用。
　　本章重要的知識點有：相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計學(xué)意義與解釋；積差相關(guān)系數(shù)計算方法、等級相關(guān)系數(shù)計算方法，點雙列相關(guān)計算方法及結(jié)果解釋。本章的難點是點雙列相關(guān)系數(shù)的計算思想方法和結(jié)果的解釋。本章公式較多，容易混淆,在學(xué)習本章內(nèi)容時，不要死記硬背公式,應(yīng)當在理解統(tǒng)計學(xué)相關(guān)概念及相關(guān)分析的思想方法基礎(chǔ)上，通過閱讀教材內(nèi)容，系統(tǒng)掌握在不同情形下計算相關(guān)系數(shù)的方法。考慮到計算相關(guān)系數(shù)的計算工作量一般較多，因此，考生可更加關(guān)注本章內(nèi)容中的具體例子，領(lǐng)會數(shù)據(jù)的特點及計算相關(guān)系數(shù)的再配合做適量的練習，以加深理解。

第一節(jié) 相關(guān)的統(tǒng)計學(xué)意義

一、對相關(guān)現(xiàn)象的感覺

　　教育工作者常發(fā)覺，許多教育現(xiàn)象之間或教育行為之間存在著一定的相互聯(lián)系。例如，在學(xué)習行為上，隱隱約約地表現(xiàn)出這么一些特點：學(xué)生的數(shù)學(xué)成績和物理成績之間關(guān)系密切，似乎許多數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的學(xué)生在物理科目上的成績大多也是優(yōu)秀的，許多數(shù)學(xué)水平中等的學(xué)生在物理科目上的學(xué)習水平大多數(shù)也是中等的，許多數(shù)學(xué)成績較差的學(xué)生物理科目上的學(xué)習成績大多也是較差的。這說明數(shù)學(xué)成績和物理成績之間確定存在一種“ 水漲船高、水落船低 ”的互相關(guān)聯(lián)的趨勢。當然,并不是所有事物之間都有這么一種相同的明顯的關(guān)聯(lián)趨勢。比如，數(shù)學(xué)成績與語文成績之間或語文成績與化學(xué)成績之間，其相互關(guān)聯(lián)的趨勢就不是那么明顯可察。而另外一些教育現(xiàn)象，例如對學(xué)習材料的復(fù)習次數(shù)與遺忘量之間的關(guān)系，其遺忘量在一定范圍內(nèi)隨著復(fù)習次數(shù)的增加而減小。可見，行為變量或現(xiàn)象之間存在著種種不同模式不同程度的聯(lián)系。

二、相關(guān)的意義及相關(guān)系數(shù)的初步認識

　　直線性相關(guān)是所有關(guān)聯(lián)模式中最簡單的一種，有關(guān)聯(lián)的兩個變量各自以大體均等的速度變化著。若以平面坐標散點圖來理解，直線性相關(guān)意指：兩個變量的成對觀測數(shù)據(jù)在平面直角坐標系上描點構(gòu)成的散點圖分布的教點會環(huán)繞在某一條直線附近。
　　統(tǒng)計學(xué)上用相關(guān)系數(shù)來定量描述兩個變量之間的直線性相關(guān)的強度與方向。如果相互關(guān)聯(lián)著的兩變量，一個增大另一個也隨之增大，一個減小另一個也隨之減小，變化方向一致，就稱兩變量之間有正相關(guān)。如果相互關(guān)聯(lián)著的兩變量，一個增大另一個反而減小，變化方向相反，就稱叫兩變量之間有負相關(guān)。如果這種關(guān)聯(lián)十分緊密，一個變量有了某種程度的變化，另一個也有十分類似程度的變化，那么就叫相關(guān)的強度大；否則，就叫相關(guān)的強度小。相關(guān)系數(shù)用r表示，r在-1和+1之間取值。相關(guān)系數(shù)r 的絕對值大小（即），表示兩個變量之間的相關(guān)強度；相關(guān)系數(shù)r的正負號,表示相關(guān)的方向，分別是正相關(guān)和負相關(guān)；若相關(guān)系數(shù)r=0，稱零線性相關(guān)，簡稱零相關(guān)；相關(guān)系數(shù) =1時，表示兩個變量是完全相關(guān)，這時,兩個變量之間的關(guān)系成了確定性的函數(shù)關(guān)系,這種情況在行為科學(xué)與社會科學(xué)中是極少存在的。
　　一般說來,若觀測數(shù)據(jù)的個數(shù)足夠多的話,計算出來的相關(guān)系數(shù)r 就會更真實地反映客觀事物之間的本來面目。通常是，當0.7<1，稱為高相關(guān)；當0.4時，稱為中等相關(guān)；當0.2時，稱為低相關(guān)；當時，稱極低相關(guān)或接近零相關(guān)。

三、由散點圖認識相關(guān)情況

　　上面我們以經(jīng)說過直線性相關(guān)去的含義，是以平面坐標散點圖來理解，我們還可以從相關(guān)散點圖的幾何分布形態(tài)來認識相關(guān)的強度與方向，如果散點圖形雜亂無章,沒有顯示出向某個方向延伸的情形,則說明相關(guān)程度很低；如果散點圖分布形成一個邊界不規(guī)則的橢圓，則說明兩個變量存在中等程度的相關(guān)；若這里的橢圓越扁長，則相關(guān)程度越高。倘若散點圖幾乎形成一條直線，則說明相關(guān)系數(shù)接近1或-1。至于相關(guān)的方向，則可以通過散點橢圓圖形的長軸所在直線的斜率來判斷。從左下方往右上方延伸的情形是正相關(guān)；從左上方往右下方延伸的情形是負相關(guān)。這樣，我們可以從散點圖的分布情況，初步判斷兩個變量之間的相關(guān)情況。
　　由于事物之間聯(lián)系的復(fù)雜性，在實際研究中，通過統(tǒng)計方法確定出來的相關(guān)系數(shù)r即使是高度相關(guān)， 我們在解釋相關(guān)系數(shù)的時候，還要結(jié)合具體變量的性質(zhì)特點和有關(guān)專業(yè)知識進行。兩個高度相關(guān)的變量,它們之間可能具有明顯的因果關(guān)系；也可能只具有部分因果關(guān)系；還可能沒有直接的因果關(guān)系，其數(shù)量上的相互關(guān)聯(lián)，只是它們共同受到其他第三個變量所支配的結(jié)果。除此之外，相關(guān)系數(shù)r接近零,這只是表示這兩個變量不存在明顯的直線性相關(guān)模式，但不能肯定地說這兩個變量之間就沒有規(guī)律性的聯(lián)系。通過散點圖我們有時會發(fā)現(xiàn)，兩個變量之間存在明顯的某種曲線性相關(guān)，但計算直線性相關(guān)系數(shù)時，其r值往往接近零。對于這一點，讀者應(yīng)該有所認識。
　　在統(tǒng)計學(xué)教科書中，除非特別說明，直線性相關(guān)一般情況下就稱相關(guān)； 直線性相關(guān)系數(shù)就稱相關(guān)系數(shù)。 相關(guān)系數(shù)的計算方法多種多樣，本章主要學(xué)習積差相關(guān)、等級相關(guān)和點雙列相關(guān)。這些相關(guān)分析方法在行為科學(xué)研究以及在教育與心理測量研究中有廣泛的應(yīng)用。

總結(jié)

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