卷積的概念

卷積算得上是信號(hào)與系統(tǒng)里面一個(gè)比較抽象的概念，它廣泛應(yīng)用在統(tǒng)計(jì)學(xué)、工程學(xué)，好多人明白了怎么做題，卻仍然說不清楚卷積的概念，我們把它當(dāng)作一種運(yùn)算，它的運(yùn)算形式如下：
有$f_1(t)f_2(t)$兩個(gè)函數(shù)，要對它們進(jìn)行卷積運(yùn)算，看這個(gè)積分：
${\int }_{\infty }^{\infty }{f}_1(\tau )?f_2(t?\tau )d\tau$
這個(gè)積分被稱作卷積積分，它可以簡單的表示為$f_1(t)?f_2(t)$,它就是卷積
觀察函數(shù)可以得到，$f_2(t)$滯后于$f_1(t)$積分，在積分之前還要對$f_2(t)$進(jìn)行一個(gè)翻折
它的由來則是由之前的LTI系統(tǒng)的線性，時(shí)不變性得到的：

最后的結(jié)果我們得到的是一個(gè)關(guān)于 $t$ 的函數(shù)！！！！！！
比方說題目中給你兩個(gè)函數(shù)，讓你卷積一下，第一步就先寫：
$f(t)?g(t)$
后面寫上卷積積分的形式：
${\int }_{\infty }^{\infty }f(\tau )?g(t?\tau )d\tau$
這里要注意的是這個(gè)$\tau$是一個(gè)虛設(shè)函數(shù)

卷積積分演變其他上下限的情況

$f_1(t)是因果信號(hào)$ $f_1(t)?\xi (t)$則 ${\int }_0^{+\infty }{f}_1(\tau )f_2(t?\tau )d\tau$

$f_2(t)是因果信號(hào)$ $f_2(t)=f_2(t)?\xi$ 則 ${\int }_{?\infty }^t{f}_1(\tau )f_2(t?\tau )d\tau$

卷積的兩個(gè)函數(shù)都是因果信號(hào)的話，它們的積分上下限為$[0,t]$。
我們來看一道例題

我們可以發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)都是因果信號(hào)
t的范圍就可以確定了，是$[0,+\infty ]$
但是$\tau$的值是不可能大于$t$的(由階躍函數(shù)的圖像）
所以最終范圍確定為$[0,t]$
求解如下：

卷積的圖解法

圖解法較為直觀，在特定情況下比較方便
過程如下：

舉例如下：

這兩個(gè)函數(shù)都可以換$\tau$，換的時(shí)候主要看哪個(gè)函數(shù)簡單就換哪個(gè)，方便我們后續(xù)計(jì)算，那個(gè)簡單的函數(shù)，被我們翻折之后，按照t的大小慢慢向右邊移動(dòng)，母庸置疑的是，如果這兩個(gè)函數(shù)圖像沒有交集，結(jié)果一定是0。
$t\in [0,1]$，就是一個(gè)三角形面積的積分
$t\in [1,2]$，以及后面的積分也是一樣的道理
看另外一個(gè)函數(shù)的圖形橫坐標(biāo)最大是2，所以超過2的不要了
類似的題目，多練一下

卷積的運(yùn)算性質(zhì)

卷積的運(yùn)算滿足交換律、結(jié)合律、分配律：

奇異函數(shù)的卷積特性

注：奇異函數(shù)又被稱為脈沖函數(shù)，有時(shí)候會(huì)遇到教材的叫法不太一樣

可以發(fā)現(xiàn)$f(t)$與沖激函數(shù)卷積，沖激函數(shù)導(dǎo)數(shù)的階數(shù)會(huì)被轉(zhuǎn)移到卷積后的函數(shù)上面，最后那個(gè)$\xi (t)$，其實(shí)代表的是階躍函數(shù)

卷積的微分性質(zhì)

同樣的，它有積分性質(zhì)就有微分性質(zhì)，如下：

特別的，關(guān)于$f(t{)}^{(?1)}$，必須要有關(guān)于$f(t)$在$t\to ?\infty$為0這個(gè)條件成立的時(shí)候才滿足：
$f_1(t)?f_2(t)=f_1^{\prime }(t)?f_2^{(?1)}(t)$

例題：

我們發(fā)現(xiàn)，它給的條件不滿足第三個(gè)條件，所以我們這里只能使用定義做了，這里的技巧就是把復(fù)雜的放在前面，好算

再來一道：

這個(gè)時(shí)候，你會(huì)發(fā)現(xiàn)題中所給的式子滿足那個(gè)條件了
看，為啥給你畫那么一個(gè)圖，不就在暗示你求一次導(dǎo)數(shù)嗎？
求導(dǎo)之后多方便：

然后：

最后：

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的信号与系统 chapter12 卷积及其性质的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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