為了表征超彈性材料，需要進行各種測試獲取實驗數據，包括承受單軸拉伸和壓縮、雙軸拉伸和壓縮以及扭轉測試。今天，我們向大家介紹如何使用通過單軸和雙軸測試獲得的拉伸和壓縮測試數據，模擬由彈性泡沫材料制成的球體的壓縮。通過案例模型，我們演示了如何使用可壓縮的 Storakers 超彈性材料模型進行仿真計算，以及如何通過單軸和等雙軸測試數據計算力-伸長率的關系。

使用測試數據進行壓縮分析

下圖是進行單軸和雙軸拉伸和壓縮測試的示意圖。在這里我們不討論進行此類測試所需的設置，而是假設已獲取實驗數據。下圖是泡沫材料的單軸和雙軸測量數據：力-伸長率 。 值大于1 代表張力數據，值小于1 代表壓縮數據。

由單軸和雙軸測試得到的力-伸長率數據。

Storakers 超彈性材料模型

Storakers材料模型通常用于模擬高度可壓縮的泡沫材料。Storakers 材料模型的應變能密度函數為(1)其中 ，和 是主伸長率；是彈性體積比；， 和 是 Storakers 材料參數。在超彈性材料仿真中，需要材料參數作為輸入數據。我們通過將實驗測試數據與代表應力或力對伸長率的解析表達式進行擬合，來計算這些參數。在通過各種超彈性材料模型對測量數據進行擬合的文章中，我們已經詳細討論了此一般過程。與之前文章中討論的不可壓縮材料模型不同，本篇文章研究的是可壓縮材料的解析表達式。下面，讓我們看一下 Storakers 材料模型的單軸和雙軸測試中力與伸長率的關系。

單軸測試

參考上面單軸測試的示意圖，假設用于材料表征的泡沫材料在主方向2 上承受單軸載荷。假設僅允許彈性變形，那么各向同性超彈性材料的單軸變形的主伸長率由下式給出：

? 對于單軸測試，主方向 1 和 3 上的主柯西應力由下式給出 。對于可壓縮的各向同性超彈性材料，主柯西應力與主伸長率之間的關系由下式給出：

(2)上述關系來自熱力學第二定律和應力在主伸長率的頻譜表示的影響之一。根據熱力學第二定律，我們可知 ，其中， 是第二類皮奧拉-基爾霍夫應力張量， 是彈性柯西-格林張量。頻譜形式為，其中， 代表主要參考方向。已知柯西應力 ，以頻譜表示的變形梯度張量 可表示為代表主要的空間方向)，我們可以得到，其中 是主柯西應力(點擊此處，了解有關不同應力測量及其方向的更多信息)。將等式1 中的 代入 ，我們得到然而，眾所周知 ，其中 和 是變形梯度張量。這種關系來自張量演算。當按照主伸長率重寫公式時，我們可以得到 。將此關系代入上式并使 等于0，得到(3)和對于每個 ，上面等式均適用。單軸力由下式計算(4)

其中， 是沿主方向的變形尺寸， 是沿主方向的原始尺寸。使用等式2，3，和4，我們可以將單軸力表示為

(5)

等雙軸測試

假設泡沫材料在主方向1和2上受到等雙軸力，并且僅允許彈性變形。對于各向同性超彈性材料的等雙軸變形，主伸長率為對于等雙軸測試，主柯西應力 。由等式2，我們得到(6)

對于每個 ，上面等式均適用。

等雙軸力 由下式給出(7)

使用等式2，6，和7，我們得到

(8)使用優化接口計算 Storakers 材料參數根據等式5 和8 在 N=2 時得出的解析表達式，通過 COMSOL Multiphysics^? 軟件中的優化 接口，對力-伸長率測試數據進行曲線擬合。下圖顯示了測得數據與擬合數據的對比，單軸和等雙軸最小二乘擬合的權重相等。

使用 Storakers 材料模型擬合材料參數。根據以上擬合，我們計算出用于測試的泡沫材料的 Storakers 材料參數：

模擬球形泡沫材料的壓縮

上文中，我們已經計算出了泡沫材料的 Storakers 材料參數值，因此可以直接在球形泡沫壓縮模擬中使用這些值。下圖顯示了模擬的設置，其中有一個中空的球形泡沫，該球形泡沫被一個較小的球形壓頭壓在圓柱形剛性板上。右圖為描述三維問題的二維軸對稱模型。

泡沫材料壓縮的三維示意圖(左)和 COMSOL Multiphysics 中的二維軸對稱設置(右)。

下圖顯示了用于模擬超彈性泡沫材料模型的設置。壓頭和剛性板被建模為線彈性材料。壓頭、泡沫和剛性板處于接觸狀態，因此我們在它們的邊界之間定義了一個接觸對。使用指定位移?條件，給壓頭施加11毫米的向下移動，使得泡沫內部邊界與其自身接觸，稱為自接觸。通過定義第二個接觸對?建立自接觸模型，我們可以將泡沫的內部邊界同時定義為源和目標。假設我們不知道內表面的哪一部分將與相同表面的哪一部分接觸，將底部剛性板設置為完全固定。超彈性材料模型的設置。

結果與分析

通過壓頭壓縮的球形泡沫中的 Von Mises 應力。色標的最大值上限為 10kPa 。下圖顯示了在模擬的最終時間點時，泡沫邊界上的接觸壓力。模擬的最終時間點時的接觸壓力圖。當然，我們不僅限于模擬球形泡沫材料。現在，我們已經知道了給定伸長率范圍內的 Storakers 材料參數，可以在任何其他情況下對相同的泡沫進行建模，只要其變形與用于計算參數的測試數據一致即可。但是，我們還應該記住，盡管通過曲線擬合實驗測試數據獲得了材料參數，但是如果材料模型違反了Drucker 的穩定性標準，則材料模型的穩定性仍然會出現問題。

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總結

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