1. 矩陣論記號(hào)約定

2. 非負(fù)矩陣之Perron-Frobenius定理

1907 年 O. Perron 發(fā)現(xiàn)正矩陣的譜有特別有趣的性質(zhì)。G. Frobenius 在 1908-1912 年間將 Perron 的工作推廣到不可約非負(fù)矩陣的情形，并得到了新的進(jìn)一步結(jié)果。

Oskar Perron 在1907年發(fā)表了關(guān)于正矩陣的一些基本發(fā)現(xiàn)稱之為Perron定理，后來Frobenius將其推廣到非負(fù)矩陣上，稱為Perron-Frobenius定理。

2.1 H.Wielandt 的證明

Perron-Frobenius 理論有很多證明方式，下面介紹 H.Wielandt 的優(yōu)美證明。

下面先證明一些預(yù)備定理，然后著手證明Perron-Frobenius定理，然后基于Perron-Frobenius定理，利用分析學(xué)的方法將其推廣到一般非負(fù)矩陣
Perron-Frobenius定理指出：
帶有正數(shù)條目的任何方形矩陣$A$都有一個(gè)唯一的特征向量 正數(shù)（最多乘以正標(biāo)量），和 相應(yīng)的特征值具有多重性且嚴(yán)格 大于任何其他特征值的絕對(duì)值。

2.1.1 矩陣可約

矩陣不可約等價(jià)于強(qiáng)連通


如果馬氏鏈常返（注意有限閉類是常返類），概率轉(zhuǎn)移矩陣的不可約性質(zhì)保證了不變測(cè)度在忽略常數(shù)倍意義下存在且唯一[Norris. Markov Chains. Theorem 1.7.5.+1.7.6.]。

關(guān)于不可約矩陣有以下結(jié)論：

2.1.2 非負(fù)矩陣的特征值/特征向量

非負(fù)矩陣的譜半徑（下面有定義）是它的一個(gè)特征值，并且這個(gè)特征值對(duì)應(yīng)著非負(fù)特征向量。

2.1.3 非負(fù)矩陣的Collatz-Wielandt公式

2.1.4 正矩陣和非負(fù)矩陣的Perron根與特征向量

2.1.5 不可約矩陣和本原矩陣的Perron-Frobenius定理

定理雖然很長(zhǎng)但是整個(gè)過程十分優(yōu)美，思路十分清晰，仔細(xì)分析每一步還是很容易看懂的，并且在證明的過程中就能體會(huì)為什么一開始要提出“非負(fù)不可約矩陣”的概念了，然后應(yīng)用連續(xù)性把一些結(jié)果推廣到非負(fù)矩陣。

https://zhuanlan.zhihu.com/p/75236945
https://zhuanlan.zhihu.com/p/80952693
https://dna049.com/perronFrobeniusTheory/#%E5%BC%95%E7%90%86-1-%E8%AE%BE-A-%E6%98%AF%E4%B8%8D%E5%8F%AF%E7%BA%A6%E9%9D%9E%E8%B4%9F%E7%9F%A9%E9%98%B5%EF%BC%8C-y-in-mathbf-R-n-backslash-lbrace-0-rbrace-%E4%B8%94%E8%87%B3%E5%B0%91%E6%9C%89%E4%B8%80%E4%B8%AA%E5%88%86%E9%87%8F%E4%B8%BA-0-%E5%88%99-I-A-y-%E7%9A%84%E6%AD%A3%E5%88%86%E9%87%8F%E7%9A%84%E4%B8%AA%E6%95%B0%E5%A4%A7%E4%BA%8E-y-%E7%9A%84%E6%AD%A3%E5%88%86%E9%87%8F%E4%B8%AA%E6%95%B0
https://blog.csdn.net/u010510549/article/details/101145389
參考書籍：Horn R A , Johnson C R . Matrix Analysis[M]// false. 人民郵電出版社, 1985.

創(chuàng)作挑戰(zhàn)賽新人創(chuàng)作獎(jiǎng)勵(lì)來咯，堅(jiān)持創(chuàng)作打卡瓜分現(xiàn)金大獎(jiǎng)

總結(jié)

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