《拓撲學》作業
單項選擇
1．關于笛卡兒積，下面等式成立的是
（A）
（B）
（C）
（D）當且僅當
2．設是映射，，，則下面結論不成立的是：
（A）
（B）
（C）
（D）
3．在字典序拓撲空間中，子集是：
（A）開集，非閉集 （B）閉集，非開集
（C）即開，且閉集 （D）即非開集，也非閉集
4．設為映射，（表示實數集合），，下面關于的定義中是的度量的是：
（A） （B）
（C） （D）
5．設是平庸拓撲空間，，則交錯序列在拓撲空間中的收斂點集合是：
（A） （B） （C） （D）
6．設，，，，則在積空間中等于
（A） （B）
（C） （D）
7．設，，，，則在子空間中的內部等于：
（A） （B） （C） （D）
8．拓撲空間的Lindel?ff性，可分性，緊致性，完全正則性中是有限可積性質的有：
（A）1個 （B）2個 （C）3個 （D）4個
9．下列拓撲空間的蘊涵關系中，成立的有
完全正則空間正則空間，完全正則空間正規空間，連通空間局部連通空間，
度量空間可分空間，度量空間Lindel?ff空間
（A）1個 （B）2個 （C）3個 （D）4個
10．拓撲空間的可分性，緊致性，Lindel?ff性，連通性中在連續射下保持不變的性質有：
（A）1個 （B）2個 （C）3個 （D）4個
11．設是一個等價關系，則不滿足的條件是
（A） （B）R∩R-1= （C） （D）
12．設是映射，，則下面等式中不成立的是
（A） （B）
（C） （D）
13．在字典序拓撲空間中，子集是：
（A）開集，非閉集 （B）閉集，非開集
（C）即開，且閉集 （D）即非開集，亦非閉集
14．設，，則在拓撲空間中常值序列的 收斂點集合是
（A） （B） （C） （D）
15．設，，，
，，則在積空間中，等于：
（A） （B）
（C） （D）
16.設，，，則在子空間Y中，A的閉包等于
（A） （B） （C） （D）
17．設是拓撲空間，是可度量空間是指存在的度量使得由誘導的拓撲滿足：
(A) (B) ? (D)
18．拓撲空間的可分性，Lindel?ff性, 正規性、完全正則性中是遺傳性質的有
（A）1個 (B) 2個 ? 3個 (D) 4個
19．下列拓撲空間的蘊涵關系中成立的有
滿足第二可數理空間可分空間 度量空間Lindel?ff空間
正規空間完全正則空間 度量空間滿足第一可數公理空間
正規空間正則空間 完全正則空間正則空間
（A）1個 （B）2個 （C）3個 （D）4個
20．設是拓撲空間，則對中任意兩個不相交閉集存在連續映射使得，當且僅當是：
（A）正則空間 （B）完全正則空間 （C）正規空間 （D）空間
21．設是全集，，當且僅當
（A） （B） （C） （D）
22．設是映射，，則下面結論不成立的是
（A） （B）
（C） （D）
23．在字典序拓撲空間中，子集是
（A）開集，非閉集 （B）閉集，非開集
（C）即開，且閉集 （D）即非開集，亦非閉集
24．定義度量，，，
，則度量空間（）中的單位球是

（A） （B）

（C） （D）

25．設是離散拓撲空間，, 則在中交錯序列的收斂點集合是
（A） (B) ? (D)
26．設，，，則在子空間Y中A的閉包等于
（A） （B） （C） （D）
27．設，，，，則在積空間中等于
（A） （B）
（C） （D）
28．拓撲空間的連通性、緊致性、可分性、完全正則性，Lindel?ff性，滿足第二可數公理性中是可遺傳性質的有
（A）1個 （B）2個 （C）3個 （D）4個
29．下列拓撲空間之間的蘊涵關系中成立的有：
滿足第二可數合理空間可分空間， 度量空間滿足第一可數公理空間
完全正則空間正則空間， 緊致空間Lindel?ff空間
（A）1個 （B）2個 （C）3個 （D）4個
30．設是拓撲空間，則對中任意兩個不相交閉集存在連續映射使得，當且僅當是：
（A）正則空間 （B）完全正則空間 （C）正規空間 （D）空間
31．設是映射，則滿足的條件是
（A）；如果，則
（B）；如果，則
（C）；如果，則
（D）；如果，則
32．設則下面等式成立的是
（A） （B）
（C） （D）
33．在字典序拓撲空間中，子集是
（A）開集，非閉集 （B）閉集，非開集
（C）即開，且閉集 （D）即非開集，亦非閉集
34．設是度量空間，是的由誘導的拓撲，，則下列關于的結論不正確的是
（A）存在使得
（B）使得
（C）使得
（D）存在使得
35．設，則在拓撲空間中常值序列…的收斂點集合是
（A） （B） （C） （D）
36．設，，則在子空間中的內部是
（A） （B） （C） （D）
37．設，，，則在積空間中，等于
（A） （B）
（C） （D）
38．拓撲空間的可分性，Lindel?ff性，緊致性，正規性，連通性中是有限可積的性質有：
（A）1個 （B）2個 （C）3個 （D）4個
39．下列拓撲空間之間的蘊涵關系中成立的有
正規空間正則空間 完全正則空間正則空間
局部連通空間連通空間 滿足第二可數公理空間可分空間
度量空間滿足第一可數公理空間 度量空間可分空間
（A）1個 （B）2個 （C）3個 （D）4個
40．設是拓撲空間，則對中任意閉集及，存在連續映射使得當且僅當是
（A）空間 （B）正規空間 （C）完全正則空間 （D）空間

二．證明題
1.設是兩個拓撲空間，是映射，證明若是連續映射，則，。
2.設是一一映射，而且，，證明是一個連續映射.
3.設，是兩個拓撲空間，是映射，證明若是連續性映射，則
4.設是拓撲空間，是映射，且滿足，證明是連續映射。

5.設是拓撲空間，Y是X的連通子集，A，B是X的隔離子集，
證明：或者，或者
6.設是拓撲空間，, 是連通的，是即開且閉集 ,證明: 或者，或者。
7. 設是連通拓撲空間，，證明：
8. 設是一個連通空間，是一個非空真子集，證明
9.證明正則的空間是空間。
10.設R表示實數集合，

證明（1）存在R的唯一拓撲以為拓撲基.
（2）證明.
11. 設是一個緊致空間，是中的一個閉子集，證明是的一個緊致子集。
12.設R表示實數集合，。
證明：（1）存在R的唯一拓撲以為拓撲基。
（2）在拓撲空間中證明：.
13.設是一個拓撲空間，
證明：（1）是一個拓撲空間
(2) 不是空間
14.設X是集合，是中的有限子集}。
證明：（1）是拓撲空間
（2）是一個正則空間
15.設R表示實數集合，表示有理數集，令

證明（1）存在R的唯一拓撲以為拓撲基：
（2）.
16.設是一個集合, 是有限集}
（1）證明是一個拓撲空間。
（2）證明是一個緊致空間。
17.設是正則空間，是緊致子集，是中閉集，。證明存在，使得
18. 設是一個空間，是中的一個緊致子集，，證明存在，使得。

總結

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