計算方法上機練習 數值積分

(包括兩次的作業 )

馬驄

問題： 《計算方法引論》pp.132–133 練習

分析：在實際應中基本的數值積分，可 以分為以下種類 ：

? 牛頓型 ：在給定有 限區 間上求等距節 點上 的函數值 。如牛頓-柯茨法則

(數值上不好用 )、矩形法則 、梯形法則 、辛 卜生法則 ，以及 “擴展 ”

(“復化 ”)的梯形法則或辛 卜生法則等等。

? 高斯型 ：在有 限或無 限區間上 ，計算 由一族正交多項式 的根為節點處 的

函數值 。選擇不 同的正交多項式可 以得到不 同的公式 ，如有 限區間上 的

高斯-勒讓德公式 (經典高斯型積分 )、高斯-切 比謝夫公式 ，無 限區間上

的高斯-拉蓋爾公式和高斯-埃爾米特公式。

牛頓型積分法又分為開式和 閉式 ，以及半開式 。開式不使用區間端點函數值 ，

這在端點處有可積奇點的時候有很大 的優越性 ；閉式使用兩端點的函數值 ；半

開式則使用一個端點的函數值 。以下主要使用 閉式。

為了增強牛頓型積分的效果，通常可 以考慮 以下方面：

1. 增加次數 。使用更高次 的多項式 ，在被積 函數光滑型好 的情況下可 以提

高精度 ，但是我們始終要注意 的一點是代數精度不等于精確度 。在被積

函數不光滑 的時候高次公式可能引入 巨大誤差 ，而且增加次數不能保證

收斂于真值 。

2. 復化 。將 區 間分成更 多小 區 間，在每個 (每 組 )小 區 間上使用低 次公

式 。這種方法如果使用得當可 以很好地提高精度 ，特別是復化梯形法在

被積 函數連續性 、光滑性很差 的時候是極其穩健 的方法 。不過這要求 函

數求值 的次數非常多，特別是在使用逐次半分法進行復化逼近 的時候 ，

如 果 區 間較長 ，或 函數躍變很大 ，則難 以收斂 ，并且舍入誤 差積 累很

大。

3. 外插 。所謂 “外插 ”指 的是理查森 的間接求極 限法用于求積分 。將誤差

項 的階數看作步長 的函數 ，求 出步長逐漸減小時積分 的一系列近似值 ，

再將這些值外插 到步長 為0的極 限情況 ，得到的插值 結果作為數值積分

的結果 。在實現上有基于梯形公式 的龍 貝格法 。外插法 的速度快 ，但是

它適用 的范 圍并不一定 因此擴大 。對于常規方法需要很多次計算才能逼

近 的情況 ，它 的求值 、四則運算次數一般也可能很多，舍入誤差難 以控

制 。

高斯型積分 的節 點和權數需要預先計算好 ，節 點不能 自己選擇 。其 中高

斯-勒讓德型和高斯-切 比謝夫型 的積分節點 比較好計算 (前者利用解析性質結

合牛頓求根法 ，后者可寫成顯式 )。高斯-拉蓋爾和高斯-埃爾米特型積分可分

別求半無窮或整個實數軸上 的積分 。勒讓德型積分 比較普適 ；切 比謝夫型 的積

1

1

√

分適合于被積 函數 中有權 函數 因子 的情況 ，但一般情況下不及勒讓德

1 ? x2

2

型準確 。拉蓋爾型和埃爾米特型分別適用于有權 函數e?x和e?x 的情形 。值得

注意 的是高斯型積分屬于 “開式 ”積分 ，不受端點處可積奇點的影響。一般在

被積函數解析形式 已知，光滑型 比較好 的時候使用 ，以獲取較大的精度 。

求解：我們只給出以上編寫的函數 ，練習的求解僅僅是調用它們 。

? trapre?n.m 逐次半分的梯形求積

fun

總結

以上是生活随笔為你收集整理的matlab内维尔差值代码,计算方法上机练习数值积分（包括两次作业）.PDF的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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