時間序列分析：二階自回歸過程

Author: nex3z

2019-07-13

1. 定義

對于二階自回歸過程 $AR(2)$

\begin{equation}

X_t = \phi_1 X_{t-1} + \phi_2 X_{t-2} + e_t \tag{1}

\end{equation}

假設 $e_t$ 獨立于 $Y_{t-1}, Y_{t-2}, \cdots$。式 $(1)$ 也可以表示為

\begin{equation}

X_t – \phi_1 X_{t-1} – \phi_2 X_{t-2} = e_t

\end{equation}

即

\begin{equation}

\phi(B) X_t = e_{t} \tag{2}

\end{equation}

其中

\begin{equation}

\phi(B) = 1 – \phi_1 B – \phi_2 B^2 \tag{3}

\end{equation}

$AR(2)$ 的特征方程為 $\phi(B) = 0$，即

\begin{equation}

1 – \phi_1 B – \phi_2 B^2 = 0 \tag{4}

\end{equation}

上述特征方程是一個二次方程，總有兩個跟(含復根)。

2. $AR(2)$ 過程的平穩性

可以證明，在 $e_t$ 獨立于 $Y_{t-1}, Y_{t-2}, \cdots$ 的條件下，當且僅當 $AR$ 特征方程的根的絕對值(模)大于 $1$ 時，方程 $(1)$ 有平穩解。這一條件也可以表述為復平面上的根在單位圓外。這個結論可以不加任何改變地推廣到 $p$ 階的情況。

在式 $(1)$ 所示的 $AR(2)$ 過程中，容易找到二次特征方程 $(4)$ 的兩個根為

\begin{equation}

\frac{\phi_1 \pm \sqrt{\phi_1^2 + 4 \phi_2}}{-2\phi_2} \tag{5}

\end{equation}

為了滿足平穩條件，要求式 $(5)$ 的絕對值大于 $1$。可以證明，為了平穩性成立，當且僅當滿足一下三個條件

\begin{equation}

\phi_1 + \phi_2 < 1 \qquad \phi_1 + \phi_2 < 1 \qquad |\phi_2| < 1 \tag{6}

\end{equation}

稱式 $(6)$ 所示的條件為 $AR(2)$ 模型的平穩條件。

3. $AR(2)$ 過程的自相關函數

假設式 $(1)$ 所描述的 $AR(2)$ 過程是平穩的，且具有零均值，在式 $(1)$ 等號兩邊同乘以 $X_{t-k}$ 并求期望，得

\begin{equation}

\gamma_k = \phi_1 \gamma_{k-1} + \phi_2 \gamma_{k-2}, \qquad k = 1, 2, 3, \cdots \tag{7}

\end{equation}

在式 $(7)$ 的等號兩邊同除以 $\gamma_0$，得

\begin{equation}

\rho_k = \phi_1 \rho_{k-1} + \phi_2 \rho_{k-2}, \qquad k = 1, 2, 3, \cdots \tag{8}

\end{equation}

稱式 $(7)$ 或式 $(8)$ 為 Yule-Walker 方程。當 $k = 1$ 時，有 $\rho_1 = \phi_1 \rho_0 + \phi_2 \rho_{-1}$，由 $\rho_0 = 1$，$\rho_{-1} = \rho_1$，得 $\rho_1 = \phi_1 + \phi_2 \rho_1$，進而解得

\begin{equation}

\rho_1 = \frac{\phi_1}{1 – \phi_2} \tag{9}

\end{equation}

當 $k = 2$ 時，有

\begin{equation}

\rho_2 = \phi_1 \rho_1 + \phi_2 \rho_0 = \frac{\phi_2(1 – \phi_2) + \phi_1^2}{1 – \phi_2} \tag{10}

\end{equation}

可見，通過式 $(8)$ 可以在已知 $\phi_1$ 和 $\phi_2$ 時計算出自相關值。

$\rho_k$ 的更一般的計算方法取決于特征方程 $1 – \phi_1 B – \phi_2 B^2 = 0$ 的根，用 $G_1, G_2$ 表示特征根的倒數，有

\begin{equation}

G_1 = \frac{\phi_1 – \sqrt{\phi_1^2 + 4\phi_2}}{2}, \qquad G_2 = \frac{\phi_1 + \sqrt{\phi_1^2 + 4\phi_2}}{2}

\end{equation}

如果 $G_1 \neq G_2$ (即 $\phi_1^2 + 4 \phi_2^2 > 0$)，可以證明有

\begin{equation}

\rho_k = \frac{(1 – G_2^2)G_1^{k+1} – (1 – G_1^2)G_2^{k+1}}{(G_2 – G_1)(1 + G_1G_2)}, \qquad k = 0, 1, 2, \cdots \tag{11}

\end{equation}

如果特征根時復數(即 $\phi_1^2 + 4 \phi_2^2 < 0$)，則 $\rho_k$ 可以表示為

\begin{equation}

\rho_k = R^k \frac{\sin(\Theta k + \Phi)}{\sin(\Phi)}, \qquad k = 0, 1, 2, \cdots \tag{12}

\end{equation}

其中 $R = \sqrt{-\phi_2}$，$\Theta$ 和 $\Phi$ 可以由 $\cos(\Theta) = \phi_1 / (2\sqrt{-\phi_2})$，$\tan(\Phi) = (1 – \phi_2) / (1 + \phi_2)$ 解得。

如果特征根相等(即 $\phi_1^2 + 4 \phi_2^2 = 0$)，則有

\begin{equation}

\rho_k = \bigg( 1 + \frac{1 + \phi_2}{1 – \phi_2} \bigg) \bigg( \frac{\phi_1}{2} \bigg)^k, \qquad k = 0, 1, 2, \cdots \tag{13}

\end{equation}

由式 $(11)$、$(12)$、$(13)$ 可以看到，$\rho_k$ 的可以有各種形狀，但始終隨滯后階數 $k$ 的增加而指數遞減。當特征方程有復數根時，$\rho_k$ 表現為具有阻尼因子 $R$($0 \leq R \leq 1$)、頻率 $\Theta$ 和相位 $\Phi$ 的阻尼正弦波動曲線。

當 $\theta_1 = 0.5, \theta_2 = 0.25$ 時，有兩個相異的實特征根，ACF 圖像如圖 1。

ar

acf(ar)

圖 1

當 $\theta_1 = 1, \theta_2 = -0.25$ 時，有兩個相同的實特征根，ACF 圖像如圖 2。

ar

acf(ar)

圖 2

當 $\theta_1 = 1.5, \theta_2 = -0.8$ 時，有兩個負特征根，ACF 圖像如圖 3。

ar

acf(ar)

圖 3

4. $AR(2)$ 過程的方差

由式 $(1)$ 計算 $AR(2)$ 過程的方差

\begin{align}

\gamma_0 &= \mathrm{Var}(X_t) = \mathrm{Var}(\phi_1 X_{t-1} + \phi_2 X_{t-2} + e_t) \\

&= \mathrm{Var}(\phi_1 X_{t-1} + \phi_2 X_{t-2}) + \mathrm{Var}(e_t) \\

&= \mathrm{Var}(\phi_1 X_{t-1}) + \mathrm{Var}(\phi_2 X_{t-2}) + 2 \mathrm{Cov}(\phi_1 X_{t-1}, \phi_2 X_{t-2}) + \mathrm{Var}(e_t) \\

&= \phi_1^2 \gamma_0 + \phi_2^2 \gamma_0 + 2 \phi_1 \phi_2 \gamma_1 + \sigma_e^2 \\

&= (\phi_1^2 + \phi_2^2)\gamma_0 + 2 \phi_1 \phi_2 \gamma_1 + \sigma_e^2 \tag{14}

\end{align}

在式 $(7)$ 中令 $k = 1$，有 $\gamma_1 = \phi_1 \gamma_0 + \phi_2 \gamma_{-1}$，又由 $\gamma_{-1} = \gamma_{1}$，故有

\begin{equation}

\gamma_1 = \phi_1 \gamma_0 + \phi_2 \gamma_1 \tag{15}

\end{equation}

結合式 $(14)$、$(15)$，解得

\begin{align}

\gamma_0 &= \frac{(1 – \phi_2)\sigma_e^2}{(1 – \phi_2)(1 – \phi_1^2 – \phi_2^2) – 2\phi_2\phi_1^2} \\

&= \frac{1 – \phi_2}{1 + \phi_2} \cdot \frac{\sigma_e^2}{(1 – \phi_2)^2 – \phi_1^2} \tag{16}

\end{align}

總結

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