文、理科數學大部分知識點、甚至相關知識點的考查形式都是共同的，甚至往年理科題目過幾年就會出現在文科試卷上，反之亦然；「射影定理」是「余弦定理」的直接來源，所以不算超綱知識點。

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我們在之前的第5講【點擊回顧】里基于2013年高考數學全國II卷理科數學的第17題來為你解釋在「解三角形」這一板塊內使用「正弦定理」進行「邊角互化」的基本原則，我把這道題目的題目重新展示給你：

上一講中我們從穩扎穩打的常規解法中解釋了每一步公式代換的思路來源，但是這道題目其實還包含了更深刻的洞見、今天我想向你拆解這道題目背后蘊含的另一個知識點——從中你也許可以體察到高考命題人的構題思路以備考原則。

我以前針對高中數學的備考原則和思路，講過一次2個多小時的課程【點擊學習】，里面就提到過這道題，但我今天的重點是：這道題目背后有更簡便的想法——請注意：簡便的算法還不是我的重點，我要強調的是這個簡便算法背后蘊含的一條洞見。

這個比較簡便的算法長成下面這樣：

你看，答案只有3行，還有1行是抄題目，和之前4個步驟堆積的答案相比，這種解法就應該算是「非常好用」了吧？

它為什么好用？因為這種解法觀察到了條件

與下面這個公式在形式上的相似之處：

——而（*）式有一個自己的名字，它叫「射影定理」。

「射影定理」并不是《高考大綱》明確寫出的知識點，但在2013年的主觀題判卷過程中，使用這個方法答題的學生步驟均可以被判滿分——換言之，在高考數學閱卷組的評分細則里：「射影定理」不算超綱知識點。

P.S. 根據高考閱卷保密協議，評分細則只有5年的有效期，所以2013年的這道題目的評分細則正好今年可以講了～

事實上這種形式的題目絕對不是個例，2017年——這是一個多么晚近的時間——同樣的公式再次出現在了全國課標卷的試卷上，而且這次、它是作為文科的壓軸填空題出現的：

請你注意它的題目條件，熟悉嗎？

如果你考慮到下面這條射影定理：

那么這個題目右側其實就是個

，題目條件直接改寫為： ，接下來就是 ，這題你僅憑口算就已經解完了，請注意：這可是當年文科的壓軸填空題啊！

所以在這里說句題外話：有很多學生問我文科考生是不是不需要做理科題目，或者說理科生是不是不應該做文科題？我這兩道「2017年全國II卷文科數學 & 2013年全國II卷理科數學」的題目的對比已經回答了你們的疑惑，在未來我們專欄【點擊關注】的講解中你還會看到更多文理科共享的知識點，甚至考題的形式都是一摸一樣的！

好，我們還是回到這道題目本身：如果我是一個酷愛炫技的無良老師，其實大可以對這個題目冠以「秒殺技巧」的名頭，但我并不想讓你「秒殺」題目，我想向你解釋一點更比秒殺更本質的東西——

我猜你會有疑問：「射影定理」這個知識點根本不在高考大綱上，閱卷組為什么還認為它不算超綱呢？超綱不超綱，這事兒到底是怎么定的？

是的，「射影定理」未被納入《高考大綱》的正式文本描述，但是！注意下面這句話：

「射影定理」是「余弦定理」的一個直接來源
「射影定理」是「余弦定理」的一個直接來源
「射影定理」是「余弦定理」的一個直接來源（重要的內容說三遍）

——而后者則是《高考大綱》的明確考點：

上面這張PPT至少體現了兩點內容：

1、首先，射影定理是余弦定理的一個「來源」；

2、進一步地、請你仔細觀察：上面的三個部分之間沒有引入任何新的信息，僅僅通過「射影定理」之間的公式變換，我們就能得出「余弦定理」——換言之：射影定理和余弦定理是同一個規律的兩種不同表述形式。

因為「余弦定理」是考綱重點，而「射影定理」又和「余弦定理」等價、甚至比「余弦定理」更本質——因為他甚至是考點的直接來源——所以這就不算超綱內容。

而我在《有哪些高中不會講，但解題時非常好用的知識？- Heshawn的回答》這篇文章中特別說過：

如果想要尋找「非常好用的知識」，你不應該順著知識點往后推，而應該順著知識點往源頭挖—— 知識點往后推論，得到的只能是不計其數的細枝末節，但如果你能理解知識點的「來源」，你就能得到更本質的理解。

好了，我們最后來總結一下這篇文章的重點：

1、文、理科數學大部分知識點、甚至相關知識點的考查形式都是共同的，甚至往年理科題目過幾年就會出現在文科試卷上，反之亦然，所以刷題時不應該有特別的偏見；

2、「射影定理」和「余弦定理」其實是同一條定理在不同角度下的觀察結果；

3、想找「解題時好用的知識點」，你不應該順著知識點往后推，而應該沿著知識點的來源往前找。

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的不同范数下的余弦定理_第06题 | 从源头追溯「余弦定理」amp; 文理科知识点的异同...的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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