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编程问答

2021牛客暑期多校训练营2 B-Cannon（组合+推式子）

發(fā)布時間：2023/12/3 编程问答 35 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了 2021牛客暑期多校训练营2 B-Cannon（组合+推式子）小編覺得挺不錯的,現(xiàn)在分享給大家,幫大家做個參考.

B-Cannon

首先 $n$ 個炮在一行操作一次的方案數(shù)為 $2 (n ? 2)$ :前面兩個炮只能向右吃，最后兩個跑只能向左吃，而其余的炮既可以向左也可以向右，于是有 $4 + 2 (n ? 4)$ 種

于是操作 $m$ 次的操作排列的方案數(shù)為 $2m(n?2)(n?3)...(n?m?1)=2m(n?2)!(n?2?m)!2^m(n-2)(n-3)...(n-m-1)=2^m\frac {(n-2)!}{(n-2-m)!}$

設(shè) $n = a ? 2, m = b ? 2$

首先選擇從 $k$ 選擇 $i$ 次操作第一行，選擇 $k ? i$ 次操作第二行，而問題一還需要從 $k$ 個位置選擇出 $i$ 個按序放置操作序列，而問題二必須強制第一行操作放置在第二行操作前面，由此有：

對于問題1即是求
$∑0≤i≤k(ki){2in!(n?i)!}×{2k?im![m?(k?i)]!}=2k∑0≤i≤kk!i!(k?i)!?n!(n?i)!?m![m?(k?i)]!=2kk!∑0≤i≤k(ni)(mk?i)=2kk!(n+mk)\begin{aligned} &\sum_{0\leq i\leq k}\dbinom{k}{i}\{2^i\frac{n!}{(n-i)!}\}×\{2^{k-i}\frac{m!}{[m-(k-i)]!}\}\\ \\&=2^k\sum_{0\leq i\leq k}\frac{k!}{i!(k-i)!}·\frac{n!}{(n-i)!}·\frac{m!}{[m-(k-i)]!}\\ \\&=2^kk!\sum_{0\leq i\leq k} \dbinom{n}{i}\dbinom{m}{k-i}\\\\&=2^kk!\dbinom{n+m}{k} \end{aligned}$

對于問題2即是求
$∑0≤i≤k{2in!(n?i)!}×{2k?im![m?(k?i)]!}=2k∑0≤i≤kn!(n?i)!×m![m?(k?i)]!=2kn!m!(n+m?k)!∑0≤i≤k(n+m?k)!(n?i)![m?(k?i)]!=2kn!m!(n+m?k)!∑0≤i≤k(n+m?kn?i)=2kn!m!(n+m?k)!∑n?k≤i≤n(n+m?kj)\begin{aligned} &\sum_{0\leq i\leq k}\{2^i\frac{n!}{(n-i)!}\}×\{2^{k-i}\frac{m!}{[m-(k-i)]!}\}\\\\&=2^k\sum_{0\leq i\leq k}\frac{n!}{(n-i)!}×\frac{m!}{[m-(k-i)]!}\\\\&=2^k\frac{n!m!}{(n+m-k)!}\sum_{0\leq i\leq k}\frac{(n+m-k)!}{(n-i)![m-(k-i)]!}\\\\&=2^k\frac{n!m!}{(n+m-k)!}\sum_{0\leq i\leq k}\dbinom{n+m-k}{n-i}\\\\&=2^k\frac{n!m!}{(n+m-k)!}\sum_{n-k\leq i\leq n}\dbinom{n+m-k}{j} \end{aligned}$
其中下面一項是組合數(shù)種的連續(xù)多項之和，考慮前綴和！

$∑n?k≤j≤n(n+m?kj)=∑0≤j≤n(n+m?kj)?∑0≤j≤n?k?1(n+m?kj)=∑0≤j≤n(n+m?kj)?∑0≤j≤n?k?1(n+m?kn+m?k?j)=∑0≤j≤n(n+m?kj)?∑m+1≤j≤n+m?k(n+m?kj)=∑0≤j≤n(n+m?kj)?{∑0≤j≤n+m?k(n+m?kj)?∑0≤j≤m(n+m?kj)}=∑0≤j≤n(n+m?kj)+∑0≤j≤m(n+m?kj)?2n+m?k=sum(n+m?k)\begin{aligned} &\sum_{n-k\leq j\leq n}\dbinom{n+m-k}{j}\\\\&=\sum_{0\leq j\leq n}\dbinom{n+m-k}{j}-\sum_{0\leq j\leq n-k-1}\dbinom{n+m-k}{j}\\\\&=\sum_{0\leq j\leq n}\dbinom{n+m-k}{j}-\sum_{0\leq j\leq n-k-1}\dbinom{n+m-k}{n+m-k-j}\\\\&=\sum_{0\leq j\leq n}\dbinom{n+m-k}{j}-\sum_{m+1\leq j\leq n+m-k}\dbinom{n+m-k}{j}\\\\&=\sum_{0\leq j\leq n}\dbinom{n+m-k}{j}-\{\sum_{0\leq j\leq n+m-k}\dbinom{n+m-k}{j}-\sum_{0\leq j\leq m}\dbinom{n+m-k}{j}\}\\\\&=\sum_{0\leq j\leq n}\dbinom{n+m-k}{j}+\sum_{0\leq j\leq m}\dbinom{n+m-k}{j}-2^{n+m-k}=\text{sum}(n+m-k) \end{aligned}$

考慮求出 $Sn,m=∑i=0m(ni)S_{n,m}=\sum_{i=0}^{m}\dbinom{n}{i}$ 的關(guān)于 $n$ 的遞推式

$Sn,m=∑i=0m(ni)=∑i=0m[(n?1i)+(n?1i?1)]=Sn?1,m+Sn?1,m?1\begin{aligned} S_{n,m}=\sum_{i=0}^{m}\dbinom{n}{i}&=\sum_{i=0}^{m}[\dbinom{n-1}{i}+\dbinom{n-1}{i-1}]\\&=S_{n-1,m}+S_{n-1,m-1} \end{aligned}$

而 $Sn?1,m=∑i=0m(n?1i)=Sn?1,m?1+(n?1m)\begin{aligned} S_{n-1,m}=\sum_{i=0}^{m}\dbinom{n-1}{i}&=S_{n-1,m-1}+\dbinom{n-1}{m} \end{aligned}$

帶入可得出
$Sn,m=2Sn?1,m?(n?1m)S_{n,m}=2S_{n-1,m}-\dbinom{n-1}{m}$

由此可得出
$sum(x)=∑0≤j≤n(xj)+∑0≤j≤m(xj)?2x=Sx,n+Sx,m?2x=2sum(x?1)?(x?1n)?(x?1m)\begin{aligned} \text{sum}(x)&=\sum_{0\leq j\leq n}\dbinom{x}{j}+\sum_{0\leq j\leq m}\dbinom{x}{j}-2^{x}\\\\&=S_{x,n}+S_{x,m}-2^x\\\\&=2\text{sum}(x-1)-\dbinom{x-1}{n}-\dbinom{x-1}{m} \end{aligned}$

Code

#include<bits/stdc++.h> using namespace std; using ll=long long; template <class T=int> T rd() {T res=0;T fg=1;char ch=getchar();while(!isdigit(ch)) {if(ch=='-') fg=-1;ch=getchar();}while( isdigit(ch)) res=(res<<1)+(res<<3)+(ch^48),ch=getchar();return res*fg; } const ll mod=1e9+9; ll qmi(ll a,ll b) {ll v=1;while(b){if(b&1) v=v*a%mod;b>>=1;a=a*a%mod;}return v; } int n,m; ll inv[10000010]; void solve1() {ll ans=1;ll Two=1,Fact=1;ll C=1;for(int i=1;i<=n+m;i++){Two=Two*2%mod;Fact=Fact*i%mod;C=C*(n+m-i+1)%mod*inv[i]%mod;ans^=((Two*Fact%mod*C%mod)+mod)%mod;}printf("%lld ",ans); } ll sum[10000010];void solve2() {ll Cn=1,Cm=1;sum[0]=1;for(int i=1;i<=min(n,m);i++) sum[i]=2*sum[i-1]%mod;for(int i=min(n,m)+1;i<=n+m;i++){sum[i]=2*sum[i-1]-(i>n?Cn:0)-(i>m?Cm:0);if(i>n) Cn=Cn*i%mod*inv[i-n]%mod;if(i>m) Cm=Cm*i%mod*inv[i-m]%mod;sum[i]=(sum[i]%mod+mod)%mod;}ll Factn=1,Factm=1,Two=1;for(int i=1;i<=n;i++) Factn=Factn*i%mod;for(int i=1;i<=m;i++) Factm=Factm*i%mod;ll Inv=1;for(int i=1;i<=n+m;i++) Inv=Inv*inv[i]%mod;ll ans=Two*Factn%mod*Factm%mod*Inv%mod*sum[n+m]%mod;for(int i=1;i<=n+m;i++){Two=Two*2%mod;Inv=Inv*(n+m-i+1)%mod;ans^=((Two*Factn%mod*Factm%mod*Inv%mod*sum[n+m-i]%mod)+mod)%mod;}printf("%lld\n",ans); } int main() {n=rd()-2,m=rd()-2;inv[1]=1;for(int i=2;i<=n+m;i++) inv[i]=(mod-mod/i*inv[mod%i]%mod)%mod;solve1();solve2();return 0; }

看著公式寫代碼都寫了好長時間，wtcl

創(chuàng)作挑戰(zhàn)賽新人創(chuàng)作獎勵來咯，堅持創(chuàng)作打卡瓜分現(xiàn)金大獎

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的2021牛客暑期多校训练营2 B-Cannon（组合+推式子）的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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