正題

題目鏈接：
https://www.luogu.org/problemnew/show/P2090

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大意

一個數對(a,b)，每次可以變為(a+b,b)或(a,a+b)。然后要求一個數對中有n求從(1,1)變成這個數對的最小次數。

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解題思路

更相減損法是gcd(a,b)=gcd(a,b-a)/gcd(a-b,b)
證明：

a∣d,b∣da∣d,b∣d
所以
(a?b)∣d(a?b)∣d
我們設 a′=ba′=b， b′=a?bb′=a?b
那么 gcd(a,b)=gcd(a,a+b)gcd(a,b)=gcd(a,a+b)
沒錯，是不是有些眼熟。更相減損術的次數就是到達一個數對需要的最少次數。
我們就可以枚舉一個 xx，然后求數對(n,x)(n,x)的最小次數。

但是！

會超時。然后我們就可以用歐幾里得算法
我們可以發現(b,a?b)(b,a?b)進行xx次就是(b,a?bx)(b,a?bx)。所以我們可以發現如果要從
(b,a?bx)(b,a?bx)變到(b,a%b)(b,a%b)，xx需要等于?a/b??a/b?，所以我們可以用一個wgcd(x,y)wgcd(x,y)表示變到數對(x,y)(x,y)需要的次數，當b=1b=1時我們只可以將11不斷累加到aa上面所以需要的次數就是a?1a?1次
返回

wgcd(x,y)???????????????x?1??????(y=1)inf??????(y=0)?a/b?+wgcd(y,x%y)??????(y>1)wgcd(x,y){x?1(y=1)inf(y=0)?a/b?+wgcd(y,x%y)(y>1)

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代碼

#include<cstdio> #include<algorithm> using namespace std; int n,mins; int gcd(int x,int y)//wGCD {if (y==1) return x-1;if (!y) return 1e9;return x/y+gcd(y,x%y); } int main() {mins=2147483647;scanf("%d",&n);for (int i=1;i<=(n+1)/2;i++)//枚舉(n,i)mins=min(mins,gcd(n,i));printf("%d",mins); }

總結

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