正題

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題目大意

定義一個積性函數(shù)$f(p^c)=pxorc$，求${\sum }_{i=1}^{n}f(i)$

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解題思路

異或這個東西不太好搞，要考慮怎么求出$g$數(shù)組。

當$p$為質(zhì)數(shù)時$f(p)=p?1$，所以我們讓$g(n)={\sum }_{i=1}^n[i\in Pri](i?1)$就好了。

然后因為$i?1$不是完全積性函數(shù)，所以拆成$i$和$1$分開來就好了。

然后因為$f(2)=3$，所以答案會少$2$，加回去就好了。

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code

#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #include<cmath> #define ll long long using namespace std; const ll N=1e6+10,P=1e9+7; ll n,T,cnt,tot,w[N],pri[N],sp[N],g1[N],g2[N],ind1[N],ind2[N]; bool v[N]; void init(ll n){for(ll i=2;i<=n;i++){if(!v[i]){pri[++cnt]=i;sp[cnt]=sp[cnt-1]+i;}for(ll j=1;j<=cnt&&i*pri[j]<=n;j++){v[i*pri[j]]=1;if(i%pri[j]==0)break;}}return; } ll S(ll x,ll y){if(pri[y]>=x)return 0;ll pos=(x>T)?ind2[n/x]:ind1[x];ll ans=((g2[pos]-g1[pos])-(sp[y]-y)+P)%P;if(y==0)ans+=2;for(ll k=y+1;k<=cnt&&pri[k]*pri[k]<=x;k++)for(ll e=1,p=pri[k];p<=x;p=p*pri[k],e++)(ans+=(pri[k]^e)*(S(x/p,k)+(e!=1))%P)%=P;return ans; } signed main() {scanf("%lld",&n);if(n==1)return puts("1")&0;T=sqrt(n);init(T);for(ll l=1,r;l<=n;l=r+1){ll x=n/l;r=n/(n/l);w[++tot]=x;x%=P;g1[tot]=x-1;g2[tot]=x*(x+1)/2%P-1;if(n/l<=T)ind1[n/l]=tot;else ind2[n/(n/l)]=tot;}for(ll i=1;i<=cnt;i++)for(ll j=1;j<=tot&&pri[i]*pri[i]<=w[j];j++){ll k=w[j]/pri[i];k=(k>T)?ind2[n/k]:ind1[k];(g2[j]+=P-(g2[k]-sp[i-1])*pri[i]%P)%=P;(g1[j]+=P-(g1[k]-i+1)%P)%=P;}printf("%lld\n",S(n,0)+1);return 0; }

總結

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