正題

題目鏈接:https://www.luogu.com.cn/problem/P4233

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題目大意

隨機(jī)選擇一條有哈密頓回路的$n$個(gè)點(diǎn)的競(jìng)賽圖，求選出圖的哈密頓回路的期望個(gè)數(shù)。

對(duì)于每個(gè)$n\in [1,N]$求答案。

$1\le N\le 10^5$

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解題思路

竟然自己推出來(lái)了淚目( ? ^ ? )

如果是統(tǒng)計(jì)所以的哈密頓回路個(gè)數(shù)是一個(gè)很簡(jiǎn)單的題目，我們可以求出$n$的一個(gè)圓排列表示一條回路，然后剩下的邊隨便排即可。也就是$(n?1)!\times 2^{\frac{n(n?1)}{2}?n}$條哈密頓路，但是因?yàn)榍蟮氖瞧谕晕覀冞€得求出有哈密頓回路的競(jìng)賽圖個(gè)數(shù)，然后有一個(gè)結(jié)論就是如果一個(gè)競(jìng)賽圖是一個(gè)強(qiáng)連通分量那么這個(gè)圖就一定存在哈密頓回路。

這個(gè)是問(wèn)題所在，我們可以考慮用城市規(guī)劃的推法，設(shè)$f_i$表示$i$個(gè)點(diǎn)是強(qiáng)連通分量的競(jìng)賽圖個(gè)數(shù)。
那么有
$$2^{\frac{n(n?1)}{2}}=2\sum _{i=0}^{n?1}{2}^{\frac{i(i?1)}{2}}{f}_{n?i}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i}\right)$$
但是注意$n=0$的時(shí)候要特別處理算出來(lái)為$1$。

化一下式子有
$$2^{\frac{n(n?1)}{2}}=2\sum _{i=0}^{n?1}{2}^{\frac{i(i?1)}{2}}{f}_{n?i}\frac{n!}{i!(n?i)!}$$
$$\frac{2^{\frac{n(n?1)}{2}}}{n!}=\sum _{i=0}^{n?1}\frac{2^{\frac{i(i?1)}{2}}}{i!}\frac{2f_{n?i}}{(n?i)!}$$
設(shè)$F={\sum }_{i=0}^{\infty }\frac{2f_i}{i!},G={\sum }_{i=0}^{\infty }\frac{2^{\frac{i(i?1)}{2}}}{i!}$，那么有
$$G=FG+1?F=\frac{G?1}{G}$$

上多項(xiàng)式求逆就可以求出$f$了。

時(shí)間復(fù)雜度$O(n\log n)$

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code

#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #define ll long long using namespace std; const ll N=131072,M=N<<1,P=998244353; ll n,fac[M],G[M],H[M],r[M],tmp[M]; ll power(ll x,ll b){ll ans=1;while(b){if(b&1)ans=ans*x%P;x=x*x%P;b>>=1;}return ans; } void NTT(ll *f,ll n,ll op){for(ll i=0;i<n;i++)if(i<r[i])swap(f[i],f[r[i]]);for(ll p=2;p<=n;p<<=1){ll len=(p>>1),tmp=power(3,(P-1)/p);if(op==-1)tmp=power(tmp,P-2);for(ll k=0;k<n;k+=p){ll buf=1;for(ll i=k;i<k+len;i++){ll tt=buf*f[i+len]%P;f[i+len]=(f[i]-tt+P)%P;f[i]=(f[i]+tt)%P;buf=buf*tmp%P;}}}if(op==-1){ll invn=power(n,P-2);for(ll i=0;i<n;i++)f[i]=f[i]*invn%P;}return; } void GetInv(ll n,ll *f,ll *g){if(!n){g[0]=power(f[0],P-2);return;}GetInv(n>>1,f,g);ll m=n<<1;for(ll i=0;i<n;i++)tmp[i]=f[i];for(ll i=0;i<m;i++)r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)?(m>>1):0);NTT(tmp,m,1);NTT(g,m,1);for(ll i=0;i<m;i++)g[i]=(2*g[i]-tmp[i]*g[i]%P*g[i]%P+P)%P;NTT(g,m,-1);for(ll i=n;i<m;i++)g[i]=0;return; } signed main() {scanf("%lld",&n);fac[0]=1;for(ll i=1;i<N;i++)fac[i]=fac[i-1]*i%P;for(ll i=0;i<N;i++)G[i]=power(2,i*(i-1)/2ll)*power(fac[i],P-2)%P;GetInv(N,G,H);G[0]--;NTT(G,M,1);NTT(H,M,1);for(ll i=0;i<M;i++)G[i]=G[i]*H[i]%P;NTT(G,M,-1);for(ll i=1;i<=n;i++){if(i==1){puts("1");continue;}G[i]=G[i]*fac[i]%P;if(!G[i]){puts("-1");continue;}ll ans=fac[i-1]*power(2,i*(i-1)/2ll-i)%P;printf("%d\n",ans*power(G[i],P-2)%P);}return 0; }

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的P4233-射命丸文的笔记【NTT,多项式求逆】的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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