正題

題目鏈接:https://www.luogu.com.cn/problem/P6295

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題目大意

求所有$n$個點的弱聯(lián)通$DAG$數(shù)量。

$1\le n\le 10^5$

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解題思路

先不考慮弱聯(lián)通的限制，求$n$個點的$DAG$數(shù)量。

設為$f_i$，那么有式子
$$f_n=\sum _{i=1}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i}\right)2^{i(n?i)}{f}_{n?i}(?1{)}^{i+1}$$
這個式子的意思是說新建一層出度為$0$的點，$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i}\right)$很顯然，然后$2^{i(n?i)}$是連邊，然后$f_{n?i}$表示前面的方案。之后會發(fā)現(xiàn)這樣的連法其實不保證原來出度為$0$的點現(xiàn)在都不為$0$了，也就是說這個是至少有$i$個出度為$0$的點的方案，那么要有一個容斥系數(shù)$(?1{)}^{i+1}$。

然后把$2^{i(n?i)}$拆成$2^{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right)}{2}^{?\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{2}\right)}{2}^{?\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n?i}{2}\right)}$化一下兩邊的式子就是
$$\frac{f_n}{2^{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right)}n!}=\sum _{i=1}^n\frac{(?1{)}^{i+1}}{2^{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{2}\right)}i!}\frac{f_{n?i}}{2^{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n?i}{2}\right)}(n?i)!}$$
很經典的式子，設$G(x)[n]=\frac{f_n}{2^{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right)}n!},F(x)[n]=\frac{(?1{)}^{n+1}}{2^{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right)}n!}$

那么有
$$G=GF+1?G=\frac{1}{1?F}$$

多項式求逆就可以得到$G$。

然后得出數(shù)組$f$，要求弱聯(lián)通的話挺顯然的就是如果弱聯(lián)通的生成函數(shù)是$H$，沒有要求的是$F$
那么有
$$e^H=F?H=\ln (F)$$
所以在再個多項式ln就好了。

時間復雜度：$O(n\log n)$

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code

#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #define ll long long using namespace std; const ll N=1<<17,M=N*8,P=998244353; ll T,F[M],G[M],tmp[M],t1[M],t2[M],r[M]; ll power(ll x,ll b){ll ans=1;while(b){if(b&1)ans=ans*x%P;x=x*x%P;b>>=1;}return ans; } void NTT(ll *f,ll n,ll op){for(ll i=0;i<n;i++)if(i<r[i])swap(f[i],f[r[i]]);for(ll p=2;p<=n;p<<=1){ll len=p>>1,tmp=power(3,(P-1)/p);if(op==-1)tmp=power(tmp,P-2);for(ll k=0;k<n;k+=p){ll buf=1;for(ll i=k;i<k+len;i++){ll tt=buf*f[i+len]%P;f[i+len]=(f[i]-tt+P)%P;f[i]=(f[i]+tt)%P;buf=buf*tmp%P;}}}if(op==-1){ll invn=power(n,P-2);for(ll i=0;i<n;i++)f[i]=f[i]*invn%P;}return; } void GetInv(ll *f,ll *g,ll n){if(n==1){g[0]=power(f[0],P-2);return;}GetInv(f,g,n>>1);ll m=n<<1;for(ll i=0;i<n;i++)tmp[i]=F[i];for(ll i=n;i<m;i++)tmp[i]=0;for(ll i=0;i<m;i++)r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)?(m>>1):0);NTT(tmp,m,1);NTT(g,m,1);for(ll i=0;i<m;i++)g[i]=(2*g[i]-tmp[i]*g[i]%P*g[i]%P+P)%P;NTT(g,m,-1);for(ll i=n;i<m;i++)g[i]=0;return; } void GetD(ll *f,ll *g,ll n){for(ll i=0;i<n-1;i++)g[i]=f[i+1]*(i+1)%P;g[n-1]=0;return; } void GetJ(ll *f,ll *g,ll n){for(ll i=1;i<n;i++)g[i]=f[i-1]*power(i,P-2)%P;g[0]=0;return; } void GetLn(ll *f,ll *g,ll n){memset(t1,0,sizeof(t1));memset(t2,0,sizeof(t2)); // n<<=1;GetD(f,t1,n);GetInv(f,t2,n);ll m=n<<1;for(ll i=0;i<m;i++)r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)?(m>>1):0);NTT(t1,m,1);NTT(t2,m,1);for(ll i=0;i<m;i++)t1[i]=t1[i]*t2[i]%P;NTT(t1,m,-1);for(ll i=n;i<m;i++)t1[i]=0;GetJ(t1,g,n);return; } signed main() {F[1]=1;for(ll i=2;i<N;i++)F[i]=P-F[P%i]*(P/i)%P;F[0]=1;for(ll i=1;i<N;i++)F[i]=F[i-1]*F[i]%P;for(ll i=0;i<N;i++)F[i]=F[i]*power(power(2,i*(i-1)/2%(P-1)),P-2)%P;for(ll i=0;i<N;i++)F[i]=(i&1)?(P-F[i]):F[i];GetInv(F,G,N);for(ll i=0;i<N;i++)F[i]=G[i]*power(2,i*(i-1)/2%(P-1))%P;memset(G,0,sizeof(G));GetLn(F,G,N);scanf("%lld",&T);for(ll i=1,pw=1;i<=T;i++,pw=pw*i%P)printf("%lld\n",G[i]*pw%P);return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的P6295-有标号 DAG 计数【多项式求逆,多项式ln】的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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