problem

給定一張圖 $n$ 個點 $m$ 條邊，并給定閾值 $k$，以及起終點 $s,t$。

然后每條邊經過都需要支付 $w$ 的花費，形如 $(u,v,w)$ 格式給出。

求 $s\to t$ 的最小花費。

最小花費定義如下：

• 如果該路徑經過的邊數 $\le k$，則就是該路徑的邊權和。
• 如果該路徑經過的邊數 $>k$，則只需要求前 $k$ 大的邊權和。

$n,k\le 1000,m\le 2000,1\le w_i\le 1e9$。

原題：CF Gym 101630 J

solution

考試設計的部分分實際上能讓純暴力搜路徑做法拿到 70 的高分？！！(○′･д･)ﾉ

我們直接枚舉第 $k$ 大的邊權 $x$，然后把所有邊權全都減去 $x$，當然需要和 $0$ 比 $\text{max}$。

然后求 $s\to t$ 的最短路 $+x?k$ 就是最短路的真正花費，再全局取最小值即可。

這樣子做，我們可以求出所有第 $k$ 大邊權是 $x$ 的所有路徑。

如果這條路徑不足 $k$，那么你讓 $k$ 大邊權為 $0$ 就行了。

接下來我們要證明此時所有第 $k$ 大邊權 $=x$ 的路徑花費都不存在算得比真實花費小的情況。

只要不影響到最終答案即可。

證明其實很簡單?？赡懿惶珖乐?#xff1f;？

• 第 $k$ 大邊權 $<x$。

  那么前 $k$ 大至少有一個減掉后邊權成為 $0$，后面用 $k?x$ 抵消這個減去的邊權時，相當于多彌補了一些花費。

• 第 $k$ 大邊權 $>x$。

  那么除去前 $k$ 大，后面的某些邊權可能也會 $>x$，減去后還是存在花費會被統計進路徑中。

  而實際上后面這些邊權都是不用算的。

那么這道題就變成了 $O(n^2\log n)$ 了。

code

#include <bits/stdc++.h> using namespace std; #define maxn 1005 #define int long long #define Pair pair < int, int > int n, m, k, s, t; struct edge{ int u, v, w; }E[maxn << 1]; priority_queue < Pair, vector < Pair >, greater < Pair > >q; int dis[maxn]; vector < pair < int, int > > G[maxn];int dijkstra() {memset( dis, 0x3f, sizeof( dis ) );q.push( make_pair( dis[s] = 0, s ) );while( ! q.empty() ) {int u = q.top().second; int w = q.top().first; q.pop();if( dis[u] ^ w ) continue;for( int i = 0;i < G[u].size();i ++ ) {int v = G[u][i].first; w = G[u][i].second;if( dis[v] > dis[u] + w ) q.push( make_pair( dis[v] = dis[u] + w, v ) );}}return dis[t]; }int solve( int x ) {for( int i = 1;i <= n;i ++ ) G[i].clear();for( int i = 1;i <= m;i ++ ) G[E[i].u].push_back( make_pair( E[i].v, max( 0ll, E[i].w - x ) ) ); return dijkstra() + x * k; }signed main() {scanf( "%lld %lld %lld %lld %lld", &n, &m, &k, &s, &t );for( int i = 1;i <= m;i ++ ) scanf( "%lld %lld %lld", &E[i].u, &E[i].v, &E[i].w );int ans = solve( 0 );for( int i = 1;i <= m;i ++ ) ans = min( ans, solve( E[i].w ) );printf( "%lld\n", ans );return 0; } 創作挑戰賽新人創作獎勵來咯，堅持創作打卡瓜分現金大獎

總結

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