文章目錄

• • **后綴數組 Height**
  • • 兩個子串最長公共前綴
  • **求Height數組**
  • • 比較一個字符串的兩個子串的大小關系
    • 不同子串的數目
  • 出現至少k次的子串的最大長度
  • **總結：**
  • 代碼：

后綴數組 Height

利用后綴數組快速求出2個后綴的lcp長度
lcp:最長公共前綴
lcp(suf(i),suf(j))
記Height[l] = 排名第(l-1)后綴和排名第l后綴的lcp長度
Height[l] = lcp(suf(SA[l-1]),suf(SA[l]))

l = 后綴suf(i)的排名
r = 后綴suf(j)的排名
結論：

兩個子串最長公共前綴

lcp(suf(i),suf(j)) = min(Height[l+1]…Height[r] )
即兩個后綴的lcp = 它們排名區間中Height的最小值
維護rmq

求Height數組

暴力求O(N²)

for i =1-Nl =rank[i]j = sa[l-i]k=0while(s[i+k]==s[j+k])k++;Height[l]=k;

suf(k)為s(k…n)構成的子串
SA[1]排序第1的后綴的開始位置
令l =rank[i],r = rank[i-1]
Height[l] = lcp(suf(SA[l-i],suf(i)))
Height[r] = lcp(suf(SA[r-1],suf(i-1)))
結論：
Height[l] >= Height[r]-1
Height[rank[i]] >= Height[rank[i-1]] - 1

利用Height[rank[i]] >= Height[rank[i-1]] - 1優化暴力
復雜度為O(N)

for i =1-Nj = sa[l-i]k=max(0,Height[rank[i-1]-1])while(s[i+k]==s[j+k])k++;Height[l]=k;

之后再用st表來來維護Height的rmq信息

比較一個字符串的兩個子串的大小關系

需要比較A=S[a…b]和B=S[c…d]的大小關系
若lcp(a,c)>=min(|A|,|B|),A<B <= => |A| < |B|
否則，A<B <= => rk[a]<rk[b]

不同子串的數目

子串其實就是后綴的前綴，（想辦法和后綴扯上關系），所以可以枚舉每個后綴，計算前綴總數，再減掉重復
前綴總數其實就是子串個數：n*(n+1)/2
所以答案是：
n*(n+1)/2 - ∑ⁿ_i=2height[i]

出現至少k次的子串的最大長度

子串可以看做是后綴的前綴，出現k次的子串說明至少有k個后綴的lcp是這個子串，我們對后綴排序，說明至少有連續k個后綴的LCP是這個后綴，既然是連續，那么我們只需要看頭和尾就行
所以，求出每相鄰k-1個height的最小值，然后求這些最小值的最大值就是我們要的答案
可以用單調隊列O(n)解決

總結：

倍增求長度為2^k子串的字典序
排序是二元組的基數排序
求SA O(NlogN)
求Height O(N)
求lcp
st表 預處理O(NogN)+單次詢問O(1)
P3809 【模板】后綴排序
P4051 【JSOI2007】字符加密
P2852 [USACO06DEC]Milk Patterns G

代碼：

#include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int MAXN =1000005;char ch[MAXN], all[MAXN]; int sa[MAXN], rk[MAXN], height[MAXN], tax[MAXN], tp[MAXN], a[MAXN], n, m; char str[MAXN]; //rk[i] 第i個后綴的排名; sa[i] 排名為i的后綴位置; height[i] 排名為i的后綴與排名為(i-1)的后綴的LCP //tax[i] 計數排序輔助數組; tp[i] rk的輔助數組(計數排序中的第二關鍵字),與sa意義一樣。 //a為原串 void RSort() {//rk第一關鍵字,tp第二關鍵字。for (int i = 0; i <= m; i ++) tax[i] = 0;for (int i = 1; i <= n; i ++) tax[rk[tp[i]]] ++;for (int i = 1; i <= m; i ++) tax[i] += tax[i-1];for (int i = n; i >= 1; i --) sa[tax[rk[tp[i]]] --] = tp[i]; //確保滿足第一關鍵字的同時，再滿足第二關鍵字的要求 } //計數排序,把新的二元組排序。int cmp(int *f, int x, int y, int w) { return f[x] == f[y] && f[x + w] == f[y + w]; } //通過二元組兩個下標的比較，確定兩個子串是否相同void Suffix() {//safor (int i = 1; i <= n; i ++) rk[i] = a[i], tp[i] = i;m = 127 ,RSort(); //一開始是以單個字符為單位，所以(m = 127)for (int w = 1, p = 1, i; p < n; w += w, m = p) { //把子串長度翻倍,更新rk//w 當前一個子串的長度; m 當前離散后的排名種類數//當前的tp(第二關鍵字)可直接由上一次的sa的得到for (p = 0, i = n - w + 1; i <= n; i ++) tp[++ p] = i; //長度越界,第二關鍵字為0for (i = 1; i <= n; i ++) if (sa[i] > w) tp[++ p] = sa[i] - w;//更新sa值,并用tp暫時存下上一輪的rk(用于cmp比較)RSort(), swap(rk, tp), rk[sa[1]] = p = 1;//用已經完成的sa來更新與它互逆的rk,并離散rkfor (i = 2; i <= n; i ++) rk[sa[i]] = cmp(tp, sa[i], sa[i - 1], w) ? p : ++ p;}//離散：把相等的字符串的rk設為相同。//LCPint j, k = 0;for(int i = 1; i <= n; height[rk[i ++]] = k) for( k = k ? k - 1 : k, j = sa[rk[i] - 1]; a[i + k] == a[j + k]; ++ k);//這個知道原理后就比較好理解程序 }void Init() {scanf("%s", str);n = strlen(str);for (int i = 0; i < n; i ++) a[i + 1] = str[i]; }int main() {Init();Suffix();int ans = height[2];for (int i = 3; i <= n; i ++) ans += max(height[i] - height[i - 1], 0);for(int i=1;i<=n;i++)cout<<sa[i]<<" ";puts(""); // printf("%d\n", ans); }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的后缀数组（后续）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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