Quadratic Form

題意：

一個(gè)n * n 的正定矩陣和一個(gè)n維的向量b，現(xiàn)在找一個(gè)x1，x2，…xn滿(mǎn)足以下條件：

求這個(gè)式子，最后輸出P * Q^-1 mod 998244353.

題解：

參考
線(xiàn)性代數(shù)學(xué)過(guò)n階正定的實(shí)矩陣等價(jià)于n階對(duì)稱(chēng)實(shí)矩陣
由第二個(gè)條件可得x^TAx<1.也就是A是一個(gè)正定二次型
x是一個(gè)列向量
根據(jù)KTT條件

我們定義拉格朗日函數(shù)L(x,λ)=b^T x+λ(x^TAx?1)對(duì)x求導(dǎo)
對(duì)二次型求導(dǎo)x^TAx求導(dǎo)，能得到2Ax

?L(x,λ)/?x=b+2λAx
根據(jù)不等式約束條件下的最值情況下，
b+2λAx=0，，λ>=0，λ(x^TAx?1)=0
得到 x= -A^-1b/(2λ)
然后把x帶入λ(x^TAx?1)=0中
并且 A^-1= （A^-1）^T

答案就是b ^T A ^?1 b
這種題。。。真的不會(huì)。。。

代碼：

總結(jié)

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