P3706 [SDOI2017]硬幣游戲

題目描述

Solution

前置技能：
P4548 [CTSC2006]歌唱王國
歌唱王國就是$n=1$的情況。

我們用類似的方法，先考慮兩個串的情況。

設$S_A$表示$A$串最先選到的概率，設$S_B$表示$B$串最先選到的概率。

則有
$$\begin{gathered} N=S_A\sum 2^k[A^{(k)}=A_{(k)}]+S_B\sum 2^k[B^{(k)}=A_{(k)}] \\ N=S_A\sum 2^k[A^{(k)}=B_{(k)}]+S_B\sum 2^k[B^{(k)}=B_{(k)}] \\ N+S_A+S_B=1 \end{gathered}$$
因此可以高斯消元求出兩個串的答案。
$$An{s}_A=\frac{S_A}{S_A+S_B}An{s}_B=\frac{S_B}{S_A+S_B}$$

而拓展到$n$個串也是一樣的。

$$\begin{gathered} N=S_A\sum 2^k[A^{(k)}=A_{(k)}]+S_B\sum 2^k[B^{(k)}=A_{(k)}]+... \\ N=S_A\sum 2^k[A^{(k)}=B_{(k)}]+S_B\sum 2^k[B^{(k)}=B_{(k)}]+... \\ N=S_A\sum 2^k[A^{(k)}=C_{(k)}]+S_B\sum 2^k[B^{(k)}=C_{(k)}]+... \\ ... \\ N+S_A+S_B+S_C+...=1 \end{gathered}$$
高斯消元$O(n^3)$求解即可。

代碼里直接把$N$代到上面的式子里了，因此只有大小為$n?(n+1)$的矩陣。

#include <vector> #include <list> #include <map> #include <set> #include <deque> #include <queue> #include <stack> #include <bitset> #include <algorithm> #include <functional> #include <numeric> #include <utility> #include <sstream> #include <iostream> #include <iomanip> #include <cstdio> #include <cmath> #include <cstdlib> #include <cctype> #include <string> #include <cstring> #include <ctime> #include <cassert> #include <string.h> //#include <unordered_set> //#include <unordered_map> //#include <bits/stdc++.h>#define MP(A,B) make_pair(A,B) #define PB(A) push_back(A) #define SIZE(A) ((int)A.size()) #define LEN(A) ((int)A.length()) #define FOR(i,a,b) for(int i=(a);i<(b);++i) #define fi first #define se secondusing namespace std;template<typename T>inline bool upmin(T &x,T y) { return y<x?x=y,1:0; } template<typename T>inline bool upmax(T &x,T y) { return x<y?x=y,1:0; }typedef long long ll; typedef unsigned long long ull; typedef long double lod; typedef pair<int,int> PR; typedef vector<int> VI;const double eps=1e-10; const lod pi=acos(-1); const int oo=1<<30; const ll loo=1ll<<62; const int mods=1e9+9; const int MAXN=305; const int INF=0x3f3f3f3f;//1061109567 /*--------------------------------------------------------------------*/ inline int read() {int f=1,x=0; char c=getchar();while (c<'0'||c>'9') { if (c=='-') f=-1; c=getchar(); }while (c>='0'&&c<='9') { x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48); c=getchar(); }return x*f; } char st[MAXN]; double pow2[MAXN],a[MAXN][MAXN]; int hsh[MAXN][MAXN],Pw[MAXN]; inline int upd(int x,int y){ return x+y>=mods?x+y-mods:x+y; } inline int gethash(int n,int l,int r) { return upd(hsh[n][r],mods-1ll*Pw[r-l+1]*hsh[n][l-1]%mods); } inline bool solve(int n) {for (int i=0;i<n;i++){int maxj=i;for (int j=i+1;j<n;j++)if (fabs(a[j][i])-fabs(a[maxj][i])>eps) maxj=j;if (fabs(a[maxj][i])<eps) return 0;if (maxj!=i)for (int j=0;j<=n;j++) swap(a[maxj][j],a[i][j]);for (int j=i+1;j<n;j++){double t=a[j][i]/a[i][i];for (int k=i;k<=n;k++) a[j][k]-=t*a[i][k];}}for (int i=n-1;i>=0;i--){for (int j=i+1;j<n;j++) a[i][n]-=a[j][n]*a[i][j];a[i][n]/=a[i][i];}return 1; } int main() {int n=read(),m=read();pow2[0]=1,Pw[0]=1;for (int i=1;i<=m;i++) pow2[i]=pow2[i-1]*2,Pw[i]=1ll*Pw[i-1]*MAXN%mods;for (int i=0;i<n;i++){scanf("%s",st+1);for (int j=1;j<=m;j++) hsh[i][j]=(1ll*hsh[i][j-1]*MAXN+(st[j]=='T'?1:2))%mods;}for (int i=0;i<n;i++){for (int j=0;j<n;j++)for (int k=1;k<=m;k++)if (gethash(i,1,k)==gethash(j,m-k+1,m)) a[i][j]+=pow2[k];for (int j=0;j<n;j++) a[i][j]--;a[i][n]=1;} solve(n);double sum=0;for (int i=0;i<n;i++) sum+=a[i][n];for (int i=0;i<n;i++) printf("%.10lf\n",a[i][n]/sum);return 0; }

總結

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