Loj #6089. 小 Y 的背包計數問題

Solution

似乎是比較套路的東西。

我們發現對于$i\le \sqrt{n}$的部分是一個多重背包，而剩下的部分是一個完全背包，因此考慮分開計算之后合并答案。

part one

當$i\le \sqrt{n}$時，令$f_{i,j}$表示前$i$種數總和為$j$的方案數，有：
$$f_{i,j}=\sum _{k=0}^i{f}_{i?1,j?ki}$$
這一部分可以前綴和優化，令$s_{i,j}={\sum }_k{f}_{i?1,j?ki}$，有$s_{i,j}=s_{i,j?i}+f_{i?1,j}$，于是$$f_{i,j}=s_{i,j}?s_{i,j?i?i?i}$$
這一部分是 $O(n\sqrt{n})$的。

part two

當$i>\sqrt{n}$時，這一部分的方案數相當于初始有一個空序列，每次要么加進去一個$\sqrt{n}+1$，要么序列里每個數加$1$，求不同序列個數，于是考慮一個特殊的$dp$，令$g_{i,j}$表示序列共有$i$個數，總和為$j$的序列個數，有：$$g_{i,j}=g_{i?1,j?\sqrt{n}?1}+g_{i,j?i}$$
這一部分也是$O(n\sqrt{n})$的。

part three

最后考慮合并：
$Ans={\sum }_{i=0}^n{\sum }_{j=0}^{\sqrt{n}}{f}_{\sqrt{n},i}?g_{j,n?i}$
還是$O(n\sqrt{n})$的。

因此總復雜度$O(n\sqrt{n})$，這邊空間復雜度如果用滾動數組，并且一邊算$part2$，一邊算$part3$，可以優化至$O(n)$。

Code

#include <vector> #include <list> #include <map> #include <set> #include <deque> #include <queue> #include <stack> #include <bitset> #include <algorithm> #include <functional> #include <numeric> #include <utility> #include <sstream> #include <iostream> #include <iomanip> #include <cstdio> #include <cmath> #include <cstdlib> #include <cctype> #include <string> #include <cstring> #include <ctime> #include <cassert> #include <string.h> //#include <unordered_set> //#include <unordered_map> //#include <bits/stdc++.h>#define MP(A,B) make_pair(A,B) #define PB(A) push_back(A) #define SIZE(A) ((int)A.size()) #define LEN(A) ((int)A.length()) #define FOR(i,a,b) for(int i=(a);i<(b);++i) #define fi first #define se secondusing namespace std;template<typename T>inline bool upmin(T &x,T y) { return y<x?x=y,1:0; } template<typename T>inline bool upmax(T &x,T y) { return x<y?x=y,1:0; }typedef long long ll; typedef unsigned long long ull; typedef long double lod; typedef pair<int,int> PR; typedef vector<int> VI;const lod eps=1e-11; const lod pi=acos(-1); const int oo=1<<30; const ll loo=1ll<<62; const int mods=998244353; const int MAXN=100005; const int INF=0x3f3f3f3f;//1061109567 /*--------------------------------------------------------------------*/ inline int read() {int f=1,x=0; char c=getchar();while (c<'0'||c>'9') { if (c=='-') f=-1; c=getchar(); }while (c>='0'&&c<='9') { x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48); c=getchar(); }return x*f; } int s[2][MAXN],f[2][MAXN],g[355][MAXN]; int upd(int x,int y) { return x+y>=mods?x+y-mods:x+y; } signed main() {int n=read(),sz=floor(sqrt(n));f[1][0]=f[1][1]=1;for (int i=2;i<=sz;i++) for (int j=0;j<=n;j++){s[i&1][j]=upd((j-i>=0?s[i&1][j-i]:0),f[(i^1)&1][j]);f[i&1][j]=upd(s[i&1][j],mods-(j-i*i-i>=0?s[i&1][j-i*i-i]:0));}g[0][0]=1;for (int i=1;i<=sz;i++)for (int j=0;j<=n;j++) g[i][j]=upd((j>=sz+1?g[i-1][j-sz-1]:0),(j>=i?g[i][j-i]:0));int ans=0;for (int i=0;i<=n;i++) for (int j=0;j<=sz;j++) ans=upd(ans,1ll*f[sz&1][i]*g[j][n-i]%mods);printf("%d\n",ans);return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的Loj #6089. 小 Y 的背包计数问题的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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