題意：一張$n$個點$m$條邊的無向無權圖，求以下算法計算最大獨立集的正確率：隨機一個排列，依次考慮排列中每一個點，如果不與任何一個獨立集中的點相鄰則將其加入獨立集。模$998244353$。

$n\le 20$

顯然這是個計數問題。

顯然是個狀壓dp。

設$f(S,i)$表示當前已經考慮完了$S$，算出最大獨立集大小為$i$的方案數。

枚舉接下來考慮的點$j$,設$j$及與其相鄰的點中未被考慮的點的集合為$T$。

因為相鄰的關系是相互的，所以$j$一定是$T$中第一個被考慮的（廢話）

在考慮完$j$后，剩下的$|T|?1$個點可以在后面隨便放，并不影響后面的計算，所以認為$T$中的點都考慮了。

即

$$f(S|T,i+1)=\sum f(S,i)A_{n?|S|?1}^{|T|?1}$$

最終答案為$f(2^n?1,mx)/n!$,其中$mx$為真正的最大獨立集大小

復雜度$O(2^n{n}^2)$

如果被卡常了可以在dp的時候順便把$mx$算出來，不用單獨再算

#include <iostream> #include <cstdio> #include <cstring> #include <cctype> using namespace std; const int MOD=998244353; typedef long long ll; inline int qpow(int a,int p) {int ans=1;while (p){if (p&1) ans=(ll)ans*a%MOD;a=(ll)a*a%MOD;p>>=1;}return ans; } int fac[25],finv[25]; int g[25][25]; int T[25],cnt[1<<20],dp[25][1<<20]; int main() {for (int i=1;i<(1<<20);i++) cnt[i]=cnt[i^(i&-i)]+1;int n,m;scanf("%d%d",&n,&m);fac[0]=1;for (int i=1;i<=n;i++) fac[i]=(ll)fac[i-1]*i%MOD;finv[n]=qpow(fac[n],MOD-2);for (int i=n-1;i>=0;i--) finv[i]=(ll)finv[i+1]*(i+1)%MOD;for (int i=1;i<=m;i++){int u,v;scanf("%d%d",&u,&v);--u,--v;g[u][v]=g[v][u]=1;}for (int i=0;i<n;i++){T[i]=1<<i;for (int j=0;j<n;j++)T[i]|=g[i][j]<<j;}dp[0][0]=1;int ans=0;for (int S=0;S<(1<<n);S++)for (int i=0;i<=cnt[S];i++){if (!dp[i][S]) continue;ans=max(ans,i);for (int j=0;j<n;j++)if (!(S&(1<<j)))dp[i+1][S|T[j]]=(dp[i+1][S|T[j]]+(ll)dp[i][S]*fac[n-cnt[S]-1]%MOD*finv[n-cnt[S|T[j]]])%MOD;}printf("%lld\n",(ll)dp[ans][(1<<n)-1]*finv[n]%MOD);return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【PKUWC2018】随机算法【状压dp】【组合计数】的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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