題意：有好壞兩種點共 $n$ 個，每個好點有權值，把這 $n$ 個點連成一棵樹，一個好點為有用的當且僅當它至少與一個好點相鄰，求所有有用的點的權值和不超過 $lim$ 的方案數。

$n\le 40$

這題網上的容斥方法基本都是假的……

發現至少與一個好點相鄰不好處理，但只能與壞點相鄰比較方便，所以大概是個容斥。

設有 $m$ 個好點， $f(k)$ 表示欽定 $k$ 個點，有用的點只能在這 $k$ 個當中選，相當于欽定其他 $m?k$ 個是沒用的。（以下簡稱“可以有用”。）$g(k)$ 表示恰好有 $k$ 個有用的點。

那么有

$$f(k)=\sum _{i=0}^k\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{i}\right)g(i)$$

欽定 $k$ 個可以有用的點后，把所有好點和壞點連邊，有用的點和壞點內部連邊，就可以算出 $f$。

然后你會發現你假了。

第一，你算矩陣樹只能欽定固定的 $k$ 個可以有用，而 $f$ 的定義是任意欽定，欽定這個動作本身的方案是算在其中的。

第二，因為這 $k$ 個是不固定的，你算出了 $g$ 也沒法算答案……

所以必須要改下定義。

定義 $f(k)$ 為已經確定了 $k$ 個點可以有用的連邊方案。也就是具體是哪 $k$ 個點已經幫你欽定好了，你只需要管連邊的方案。

$g(k)$ 為已經確定恰好有 $k$ 個點有用的連邊方案，具體含義同上。

先不管權值的事情，對于一個欽定可以有用的方案，建出圖后考慮它的一棵生成樹，把欽定的 $k$ 個點中全部連的壞點的拿出來，假設有 $i$ 個，就對應了一種 $g(i)$ 的方案。

所以式子是一樣的

$$f(k)=\sum _{i=0}^k\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{i}\right)g(i)$$

二項式反演

$$g(k)=\sum _{i=0}^k(?1{)}^{k?i}(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{i})f(i)$$

$f$ 因為是矩陣樹算的，已經欽定好了。對于所有 $g(k)$，乘上欽定本身的方案的和就是答案。欽定本身可以折半搜索+two pointer算出。

復雜度 $O(2^{n/2}+n^4)$

順帶一提，如果是欽定沒用的點，式子是長這樣的

$$f(k)=\sum _{i=k}^m\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m?k}{i?k}\right)g(i)$$

而不是

$$f(k)=\sum _{i=k}^m\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{k}\right)g(i)$$

原因同上

#include <iostream> #include <cstdio> #include <cstring> #include <cctype> #include <algorithm> #include <vector> using namespace std; typedef long long ll; const int MOD=1e9+7; inline int add(const int& x,const int& y){return x+y>=MOD? x+y-MOD:x+y;} inline int qpow(int a,int p) {int ans=1;while (p){if (p&1) ans=(ll)ans*a%MOD;a=(ll)a*a%MOD,p>>=1;}return ans; } int C[45][45],n,lim,a[45],cnt[45],f[45]; vector<int> L[45],R[45]; void dfs(vector<int>* v,int cur,int pos,int k,int sum) {if (sum>lim) return;if (cur>pos) return v[k].push_back(sum);dfs(v,cur+1,pos,k,sum);dfs(v,cur+1,pos,k+1,sum+a[cur]); } inline int calc(const vector<int>& a,const vector<int>& b) {int pos=b.size(),ans=0;for (int i=0;i<(int)a.size();i++){while (pos&&a[i]+b[pos-1]>lim) --pos;ans=(ans+pos)%MOD;}return ans; } int g[45][45]; inline int det(int n) {int ans=1;for (int i=1;i<n;i++) for (int j=1;j<n;j++) (g[i][j]<0)&&(g[i][j]+=MOD);for (int i=1;i<n;i++){int pos=i;for (;!g[pos][i]&&pos<n;++pos);if (pos==n) return 0;if (pos>i) swap(g[i],g[pos]),ans=MOD-ans;ans=(ll)ans*g[i][i]%MOD;for (int j=i+1;j<n;j++){int t=(ll)g[j][i]*qpow(g[i][i],MOD-2)%MOD;for (int k=i;k<n;k++) g[j][k]=(g[j][k]-(ll)t*g[i][k]%MOD+MOD)%MOD;}}return ans; } int main() {scanf("%d%d",&n,&lim);C[0][0]=1;for (int i=1;i<=n;i++){C[i][0]=1;for (int j=1;j<=i;j++) C[i][j]=add(C[i-1][j-1],C[i-1][j]);}for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);sort(a+1,a+n+1);int bad=0;for (;a[bad+1]==-1;++bad);int mid=(bad+1+n)>>1;dfs(L,bad+1,mid,0,0),dfs(R,mid+1,n,0,0);int m=n-bad;for (int i=0;i<=m;i++) sort(L[i].begin(),L[i].end()),sort(R[i].begin(),R[i].end());for (int k=0;k<=m;k++){for (int i=0;i<=k;i++) cnt[k]=add(cnt[k],calc(L[i],R[k-i]));memset(g,0,sizeof(g));for (int i=1;i<=bad;i++)for (int j=1;j<i;j++){++g[i][i],++g[j][j];--g[i][j],--g[j][i];}for (int i=bad+1;i<=bad+k;i++)for (int j=1;j<i;j++){++g[i][i],++g[j][j];--g[i][j],--g[j][i];} for (int i=bad+k+1;i<=n;i++)for (int j=1;j<=bad;j++){++g[i][i],++g[j][j];--g[i][j],--g[j][i]; }f[k]=det(n);}int sum=0;for (int k=0;k<=m;k++){int ans=0;for (int i=0;i<=k;i++) ans=(ans+(((i-k)&1)? -1ll:1ll)*C[k][i]*f[i])%MOD; // cerr<<ans<<'\n';sum=(sum+(ll)cnt[k]*ans)%MOD;}printf("%d\n",(sum+MOD)%MOD);return 0; }

總結

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