第四章 導數與微分

導數的概念

一、引例

1. 瞬時速度（變速直線運動）

2. 切線的斜率

二、導數的定義

（1）導數

定義1：若 在 點某鄰域上有定義，且 存在，則稱 在 點可導，該極限值稱為 在 點的導數，記 或 或 或 .

注：

1. 若

不存在，則稱 在 點不可導

若

，記

2. 物理意義——瞬時速度

幾何意義——斜線斜率

3.

例1：

在 點的導數

解：

例2：

，求

解：

而

但

不存在， 在 點不可導

（2）單側導數

定義2：若 在 上有定義，且 存在，則稱 在 點左可導，極限值稱為 在 點的左導數，記 或 .

注：右導數可以類似定義.

定理1： .

例3：

，求

解：

所以

（3）區間上導數

定義3： 在 上每一點都可導，則稱 在 上可導. 在 上可導 在 上可導且 在 點右可導， 點左可導.

注：

滿足值得唯一對應性，是關于 的函數，叫 上的導函數，記 或 或 或 .

（4）幾何意義的應用

過

點切線：

過

點法線：

三、可導與連續

定理2： 在 點可導 在 點連續.

證明：根據定義，

在 有定義，且 存在

則

則

故

在 點連續

注：

在 點不連續 在 點不可導.

例4：

，求

解：

故

在 點不可導

例5：

（1） （2） ，討論 處的連續性和可導性

解：（1）

，連續

（振蕩），不可導

（2）

，可導 連續

例6：若

為奇函數且 存在，證明 存在.

證明：

為奇函數 且

故

存在.

注：不可導：

跳躍

無窮

振蕩

---

求導法則

一、幾個基本初等函數的導數

命題1：

證明：

當

時

當

時

二、求導法則

（1）四則運算法則

命題2：
1.
2.
3.

證明：以下只證明2. 和3.

注：用數學歸納法推廣

例7：

（2）反函數求導

命題3：若 在 上連續且嚴格單調，又 ，則反函數 在點 可導，且

思路：

證明：利用復合函數的極限運算

令

，則

即

注：

1.

在 上連續且嚴格單調

2. 若

，則

3.

推論：

可導且嚴格單調，

則

可導且

例8：

反函數

例9：

反函數

例10：

反函數

于是，現在我們可以得到一個更完善的基本初等函數求導公式表.

定理3（基本求導公式）：

例11：

（3）復合函數求導

命題4：在 點可導且

思路（不嚴謹）：

最終自變量改變量

中間自變量改變量

復合函數改變量

這個證明的瑕疵在于，如果

是常函數，則 后面一大串都是沒有意義的

證明：

在 點可導的，

注意，規定此處

根據芝麻引理，

，其中

則

，

若

時， ，也滿足上式

所以

恒成立

注：

1.

，鏈式法則，

2.

3. 可以用數學歸納法推廣到

層復合的求導法則

，

推論：若

的定義域包含 的值域，且兩個函數在各自的定義域上可導，則復合函數 在定義域上可導且 .

例12：

，求 與

例13：

例14：

例15：

例16：

例17：

例18：

例19：證明可導奇函數的導數為偶函數

證明：

關于

求導，

即

，為偶函數

（4）對數求導法

1. 冪指型函數

注：前一部分是把

固定當作指數函數求導，后一部分是把 固定當作冪函數求導.

2. 多個函數的積、商、冪

例20：

注：

1. 根號下非負，可以帶上絕對值

，

2. 對數的真數大于零，所以對數求導法的結果縮小了導函數的定義域. 事實上，它忽略了使得被求導的函數等于

的點（例如本題中的 和 ）. 有時候這些點是不可導的（如本題），而有時是可導的（如下題）. 維基百科說明對數求導法僅適用于恒不為 的可導函數.

事實上我們可以通過化簡對數求導的結果來擴充其定義域，但是似乎各大教材和文獻都忽略了這一點，也確實讓我很困惑. 本文也只好遵循這個“傳統”了.

例21：

注：本題中

和 實際上是可導的，在此依據“傳統”忽略這一點

（5）分段函數求導

各定義開區間上用求導公式

分界點用（左，右）導數定義

例22：

，求

解：

時，

時，

綜上

， 不存在

---

高階導數

一、定義

定義4：若 在 可導，則 仍是 上的函數. 若 也在 可導，則稱 的導函數 為 的二階導數，記作 或 或 .
類似地，可以定義 的導函數為 的三階導數，記作 或 或 .
定義 的導函數為 的 階導數，記作 或 .

注：一般從四階導數開始就不再用

的記號，而采用 來表示. 函數的零階導數理解為函數本身. 求函數的高階導數，有時可用歸納法，得出一個一般的公式.

例23：

則

，

以此類推

，

推廣：

例24：

則

，

以此類推

于是，我們可以得到一個常見函數高階導數公式表.

定理4（高階導數公式）：

二、運算法則

（1）線性運算

命題5：

證明：數學歸納法，略

（2）乘法運算

命題6（ 公式）：

證明：數學歸納法，設公式對

成立，則

歸納完成

注：

公式在形式上與二項式定理相似，原因是

例25：

解：

例26：

，求

解：

---

隱函數求導與參數式函數求導

一、隱函數求導

定義5： 稱為顯函數.

例如，

， 定義6：若存在集合 ，對任意 ，存在唯一的 使得方程 成立，則稱方程 確定了一個隱函數.

例如，

可以顯化為

注：絕大多數隱函數無法顯化.

問：隱函數不顯化的情況下如何求

？

例27：

由 確定，求

法一：

綜上

法二：等式兩邊同時關于

求導

例28：

由 確定，求 和

解：

所以

例29：

求

解：

，

即

，兩邊求 階導

令

，

又因為

，

二、參數式函數求導

定義7：由參數方程 確定的函數叫參數式函數.

例如，

消參得 顯化得

注：絕大多數參數式函數無法消參.

問：參數式函數不消參的情況下如何求

和 ？

如果在

上 嚴格單調，且

則

且

則

確定函數

注：

1.

2.

例30：

由 確定，求

解：

例31：

由 確定，求 處的切線

所以切線為

---

微分

引例：

正方形邊長是

，當邊長增加 ，面積增加

當

充分小時， （線性主部），稱為微分

一、定義

定義8：如果 在 上有定義，且 能寫成 的形式，則稱 在 點可微. 稱為 在 點的微分，記為 或 ，即 .

注：

1.

與 無關， 也叫線性主部

2.

即

充分小時，

3.

， ：可微 連續

例32：求

的微分

解：

即 或

注：以后我們記

例33：求

解：

所以

二、微分和導數的關系

定理5：函數 在 點可微的充分必要條件是函數 在 點可導，且微分中 的系數 .

證明：

必要性：

根據可微的定義

所以

充分性：

根據可導的定義

所以

所以

從而

注：

. 在定義微分前，符號 作為一個整體，而現在有了微分的概念之后，微商可以看作是微分之商.

三、幾何意義

由于

因此微分

是曲線 在 處的切線對應的改變量

從幾何上看，就是用切線的改變量近似地代替函數的改變量

即：“以直代曲”或“局部線性化”

注：連續和導數都是局部性質.

應用：近似運算

當

充分小時，

特例：當

充分小時，

例34：（1）當

充分小時， （2）求 的近似值

解：（1）當

充分小時

（2）

四、運算法則

基本初等函數求微分可以借助基本初等函數求導公式

（1）四則運算法則

命題7：
1.
2.
3.

證明：

（2）反函數的微分

（3）復合函數的微分

命題8（一階微分形式的不變性）：設 ， ，則復合函數 的微分 .

證明：

其中

，

故

一階微分形式的不變性說明，可以在微分等式中代入變量.

例如，

，則

代入

，則

例35：

，求

法一：

法二：

令

，則

五、高階微分

定義9：函數 的一階微分是 ，可以視為關于 的函數，如果它是可微的，則再求一次微分得， ，稱為 的二階微分，記為 . 把 記作 ，即 .
類似地，可以定義 的三階微分， .
可以定義 的 階微分， .

注：

1.

，這就是 階導數符號的由來

2.

， ，

---

總結

以上是生活随笔為你收集整理的含根号的导数怎么求_数学分析Mathematical Analysis笔记整理 第四章 导数与微分的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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