首先，什么是凸包？
假設平面上有p0~p12共13個點，過某些點作一個多邊形，使這個多邊形能把所有點都“包”起來。當這個多邊形是凸多邊形的時候，我們就叫它“凸包”。
處理何種問題：凸包可以看成在木板上釘許多釘子，用一根橡皮筋框住所有釘子所得到的多邊形，最終能求得都由哪些釘子構成該凸包。如下圖所示：

然后，什么是凸包問題？
我們把這些點放在二維坐標系里面，那么每個點都能用 (x,y) 來表示。
現給出點的數目13，和各個點的坐標。求構成凸包的點？

解一：窮舉法（蠻力法）

時間復雜度：O(n3）。
思路：兩點確定一條直線，如果剩余的其它點都在這條直線的同一側，則這兩個點是凸包上的點，否則就不是。
步驟：

將點集里面的所有點兩兩配對，組成 n(n-1)/2 條直線。
對于每條直線，再檢查剩余的 (n-2) 個點是否在直線的同一側。
如何判斷一個點 p3 是在直線 p1p2 的左邊還是右邊呢？（坐標：p1(x1,y1)，p2(x2,y2)，p3(x3,y3)）

當上式結果為正時，p3在直線 p1p2 的左側；當結果為負時，p3在直線 p1p2 的右邊。

解二：分治法

時間復雜度：O(n㏒n)。
思路：應用分治法思想，把一個大問題分成幾個結構相同的子問題，把子問題再分成幾個更小的子問題……。然后我們就能用遞歸的方法，分別求這些子問題的解。最后把每個子問題的解“組裝”成原來大問題的解。
步驟：

1.把所有的點都放在二維坐標系里面。那么橫坐標最小和最大的兩個點 P1 和 Pn 一定是凸包上的點（為什么呢？用反證法很容易證明，這里不詳講）。直線 P1Pn 把點集分成了兩部分，即 X 軸上面和下面兩部分，分別叫做上包和下包。
2.對上包：求距離直線 P1Pn 最遠的點，即下圖中的點 Pmax 。
3.作直線 P1Pmax 、PnPmax，把直線 P1Pmax 左側的點當成是上包，把直線 PnPmax 右側的點也當成是上包。
4.重復步驟 2、3。
對下包也作類似操作。

然而怎么求距離某直線最遠的點呢？我們還是用到解一中的公式：

設有一個點 P3 和直線 P1P2 。（坐標：p1(x1,y1)，p2(x2,y2)，p3(x3,y3)）
對上式的結果取絕對值，絕對值越大，則距離直線越遠。

注意：在步驟一，如果橫坐標最小的點不止一個，那么這幾個點都是凸包上的點，此時上包和下包的劃分就有點不同了，需要注意。
解三：Jarvis步進法
時間復雜度：O(nH)。（其中 n 是點的總個數，H 是凸包上的點的個數）
思路：

縱坐標最小的那個點一定是凸包上的點，例如圖上的 P0。
從 P0 開始，按逆時針的方向，逐個找凸包上的點，每前進一步找到一個點，所以叫作步進法。
怎么找下一個點呢？利用夾角。假設現在已經找到 {P0，P1，P2} 了，要找下一個點：剩下的點分別和 P2 組成向量，設這個向量與向量P1P2的夾角為 β 。當 β 最小時就是所要求的下一個點了，此處為 P3 。

注意：

找第二個點 P1 時，因為已經找到的只有 P0 一個點，所以向量只能和水平線作夾角 α，當 α 最小時求得第二個點。
共線情況：如果直線 P2P3 上還有一個點 P4，即三個點共線，此時由向量P2P3 和向量P2P4 產生的兩個 β 是相同的。我們應該把 P3、P4 都當做凸包上的點，并且把距離 P2 最遠的那個點（即圖中的P4）作為最后搜索到的點，繼續找它的下一個連接點。

解四：Graham掃描法
時間復雜度：O(n㏒n)
思路：Graham掃描的思想和Jarris步進法類似，也是先找到凸包上的一個點，然后從那個點開始按逆時針方向逐個找凸包上的點，但它不是利用夾角。

步驟：

把所有點放在二維坐標系中，則縱坐標最小的點一定是凸包上的點，如圖中的P0。
把所有點的坐標平移一下，使 P0 作為原點，如上圖。
計算各個點相對于 P0 的幅角 α ，按從小到大的順序對各個點排序。當 α 相同時，距離 P0 比較近的排在前面。例如上圖得到的結果為 P1，P2，P3，P4，P5，P6，P7，P8。我們由幾何知識可以知道，結果中第一個點 P1 和最后一個點 P8 一定是凸包上的點。
（以上是準備步驟，以下開始求凸包）
以上，我們已經知道了凸包上的第一個點 P0 和第二個點 P1，我們把它們放在棧里面。現在從步驟3求得的那個結果里，把 P1 后面的那個點拿出來做當前點，即 P2 。接下來開始找第三個點：
連接 棧最上面的連個元素（即P0和棧頂）的那個點，得到直線 L 。看當前點是在直線 L 的右邊還是左邊。如果在直線的右邊就執行步驟5；如果在直線上，或者在直線的左邊就執行步驟6。
如果在右邊，則棧頂的那個元素不是凸包上的點，把棧頂元素出棧。執行步驟4。
當前點是凸包上的點，把它壓入棧，執行步驟7。
檢查當前的點 P2 是不是步驟3那個結果的最后一個元素。是最后一個元素的話就結束。如果不是的話就把 P2 后面那個點做當前點，返回步驟4。
最后，棧中的元素就是凸包上的點了。

解五：Melkman算法

說真的，這個算法我也還沒有看清。網上的資料也少的可憐，我暫且把網上的解釋截個圖在這里，往后搞懂以后再回來補上。
性能：由一個快排（O（nlogn））和一個遍歷找點（O（n）），總體時間復雜度為O（nlogn）。

原理：

點：A（x1，y1），B（x2，y2）

向量AB=（x2-x1，y2-y1）=（x，y）

向量的叉積：a X b =

通過結果的正負判斷兩矢量之間的順逆時針關系

l 若a X b > 0，表示a在b的順時針方向上

l 若a X b < 0，表示a在b的逆時針方向上

l 若a X b == 0，表示a與b共線，但不確定方向是否相同

例如：

A（0，0）

B（2，2）

C（3，1）

D（2，-1）

AB（2，2），AC（3，1），AD（2，-1）

AC X AB = 32-12 = 4>0

AC在AB的順時針方向上，即點C在向量AB的下面。

實現步驟：

排序：按照x由小到大排序，如果x相同，按照y由小到大排序。
排序之后第一個點必為凸包上的點（證明自己意淫一下，有x最大、x最小、y最小、y最大的點都必在凸包上）。
選最近兩個剛入凸包的點，再在排序中依次選點，根據上面所提及到的原理，判斷該點在凸包那兩點的順時針還是逆時針方向。
如果在逆時針方向，將該點加入凸包，否則判定出之前進入凸包的點不合格，刪除該凸包點，重復第三步，直到該點加入凸包（也就是說每個點都曾進過凸包，只是后來有些被刪了）。
以上就是下凸包的構成步驟，上凸包參考下凸包，基本沒有什么差別，因為在判斷時是判斷是否為逆時針，別誤以為是在判段該點在向量的下方，上凸包就不可用了，對于逆時針而言都是一樣的。
這種方法求出來的點是凸包沿著逆時針方向找出來的，首位相接且第一個點重復兩次，所以除了點只有一個的情況下，記得點的個數減一。

備注：對于題目要求求凸包構成的面積時，可以參考以下圖示求法：

輸入樣例解釋：

11—散點樣例個數

5 8 —散點坐標

12 56

5 2

125 1

15 66

45 77

55 6

45 2

232 5

45 12

54 66

輸出樣例解釋：

tot=7 —構成凸包點的個數

1: 5.00 , 2.00 —沿著凸包逆時針方向，且保留兩位小數

2: 125.00 , 1.00

3: 232.00 , 5.00

4: 45.00 , 77.00

5: 15.00 , 66.00

6: 12.00 , 56.00

7: 5.00 , 8.00

//求凸包，時間復雜度nlogn #include<iostream> #include<cstdio> #include<algorithm> #include<cmath> #include<cstring> using namespace std;const int MaxN=10010;int n,tot;//n為點的個數，tot為凸點的個數 struct point {double x,y; }; point p[MaxN],CHP[MaxN];//CHP為凸包最后所構成的點bool cmp(point a,point b)//水平排序，按x從大到小排，如果x相同，按y從大到小排序 {return (a.x<b.x||(a.x==b.x&&a.y<b.y)); }double xmul(point a,point b,point c)//叉積 {return (b.x-a.x)*(c.y-a.y)-(b.y-a.y)*(c.x-a.x); }void Andrew() {sort(p,p+n,cmp);tot=0;for(int i=0; i<n; ++i) //計算下半個凸包{while(tot>1&&xmul(CHP[tot-2],CHP[tot-1],p[i])<0)--tot;CHP[tot++]=p[i];}int k=tot;for(int i=n-2; i>=0; --i) //計算上半個凸包{while(tot>k&&xmul(CHP[tot-2],CHP[tot-1],p[i])<0)--tot;CHP[tot++]=p[i];}if(n>1)//對于只有一個點的包再單獨判斷--tot; }int main() {scanf("%d",&n);for(int i=0; i<n; ++i){scanf("%lf%lf",&p[i].x,&p[i].y);}Andrew();printf("tot=%d\n",tot);for(int i=0; i<tot; ++i){printf("%d: %.2lf , %.2lf\n",i+1,CHP[i].x,CHP[i].y);}return 0; }

一些預備知識點：

首先在二維坐標下介紹一些定義：
點：A（x1，y1），B（x2，y2）

向量：向量AB=（ x2 - x1 , y2 - y1 ）= ( x , y );

向量的模 |AB| = sqrt ( xx+yy );

向量的點積： 結果為 x1x2 + y1y2。

點積的結果是一個數值。

點積的集合意義：我們以向量 a 向向量 b 做垂線，則 | a | * cos（a,b）為 a 在向量 b 上的投影，即點積是一個向量在另一個向量上的投影乘以另一個向量。且滿足交換律

應用：可以根據集合意義求兩向量的夾角，
cos（a,b） =（ 向量a * 向量b ） / （| a | * | b |） = （x1x2 + y1y2） / （| a | * | b |）

向量的叉積： 結果為 x1y2-x2y1

叉積的結果也是一個向量，是垂直于向量a，b所形成的平面，如果看成三維坐標的話是在 z 軸上，上面結果是它的模。

方向判定：右手定則，（右手半握，大拇指垂直向上，四指右向量a握向b，大拇指的方向就是叉積的方向）

叉積的集合意義：1：其結果是a和b為相鄰邊形成平行四邊形的面積。

2：結果有正有負，有sin（a，b）可知和其夾角有關，夾角大于180°為負值。

3：叉積不滿足交換律

應用：

1：通過結果的正負判斷兩矢量之間的順逆時針關系

若 a x b > 0表示a在b的順時針方向上

若 a x b < 0表示a在b的逆時針方向上

若 a x b == 0表示a在b共線，但不確定方向是否相同

總結

以上是生活随笔為你收集整理的凸包算法知识总结的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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