一直跟蹤家庭關系可能非常困難。如果你父親表弟的女兒剛剛生了一個小男孩，你們兩個人怎樣被相互介紹？誰是你的"曾曾姑母"？怎樣發現你的"移去兩次的第一代表親"？幸運的是，一點兒數學邏輯可以幫助澄清誰應被叫什么并且為何這樣叫---甚至可以檢測不同親戚之間的基因相似度。

為什么曾祖母比祖母大？

祖先血統

從頭開始（當然，從你的的上代講起吧），你當然有兩個雙親，一個是父親，一個是母親。繼續朝上走，他們每人都有兩個雙親，總共給了你四個祖雙親，即祖父母和外祖父母：

再向上追溯，你祖先中的每一個轉過來也有兩個雙親，這樣每次在稱呼前就要加上一個額外的"曾"字。例如，你的所有母系一方的血統是：

等等，母親，外祖父，曾外祖父，曾曾外祖父，曾曾曾外祖父。

因為每個祖先有兩個雙親（一個父親一個母親），向上第n代，你有2n個祖先：兩個雙親，四個祖雙親，八個曾-祖雙親，十六個曾-曾-祖雙親，等。加起來，一直到上n代，你總共有2+22+23+?2n=2n+1?2個祖先；例如，你所有的雙親、祖雙親和曾-祖雙親的個數是23+1?2=14。簡言之，你的祖先形成一個完全二向圖，感覺足夠簡單。

后代遺產

如果你有孩子，則他們的孩子是你的孫輩，且你孫輩的孩子是你的曾-孫輩，等等：

與祖先情形不一樣，你的后代個數缺乏簡單的公式。你能做的只是數一下你的子女個數，他們所有子女的個數，等等。例如，即使你有五個孩子，有可能他們當中沒人有子女，此時你的孫輩個數為零。另一方面，如果他們每人也生了五個孩子，則你將有二十五個孫輩，這里就沒有什么公式可以遵循了。

旁系

當某人有多個孩子后，家族之樹開始膨脹，產生像姐妹、外甥女、姑婆婆等更多的這樣的新關系。作為開始，如果你的父母除你外還有其他子女，他們當然是你的同胞，即你的姐妹和兄弟。如果你和你的同胞都有孩子，則這些孩子彼此是堂表兄弟姐妹。然后，如果他們中的兩個又有孩子，則這些孩子互相是第二代堂表兄弟姐妹；他們的孩子就是第三代堂表兄弟姐妹，等等。

一般來說，向上第n代堂表兄弟姐妹共享兩個第(n+2)代的祖先（但不共享第(n+1)代祖先）。因此，堂表兄弟姐妹共享兩個祖雙親（但不共享雙親）。第二代堂表兄弟姐妹共享兩個曾-祖雙親（但不共享祖雙親），等等。

由此可見，如果A和B是第n代堂表兄弟姐妹，則A的孩子與B的孩子是第(n+1)代堂表兄弟姐妹。這樣，堂表兄弟姐妹的孩子是第二代堂表兄弟姐妹，第二代堂表兄弟姐妹的孩子是第三代堂表兄弟姐妹，等等。事實上，如果我們把同胞視為第零代堂表兄弟姐妹，則這個理由也用于同胞：第零代堂表兄弟姐妹（即同胞）的孩子是第一代堂表兄弟姐妹。

最后，你同胞的女孩是你的侄（或外甥）女，他們的孩子則是你的侄孫女（或侄孫），等等：

顯而易見對每一代的"侄兒"的情形和"侄女"是類似的。

認輸

現在你知道了你的下代堂表兄弟姐妹來自何處。要知道你的堂表兄弟姐妹來自哪里，我們必須上移到你的雙親一代。你雙親的同胞是你的叔伯、姑母或姨媽。他們的子女是你的堂表兄弟姐妹（因為你和他們共享祖雙親，但不共享雙親）：

如果你的堂表兄弟姐妹有孩子，對你而言他們是誰？嗯，叫法頗為奇怪：你的堂表兄弟姐妹的孩子被叫成是你的"移去一次的堂表兄弟姐妹"，且他們的孩子是你的"移去兩次的堂表兄弟姐妹"。

要知道你的第二代堂表兄弟姐妹來自哪里，我們必須上移兩代。你的祖雙親的同胞是你的姑奶奶姑婆婆或叔（舅）祖。所以他們的孩子（及你雙親的堂表兄弟姐妹）是你的移去一次的堂表兄弟姐妹，而他們的孩子是你的第二代堂表兄弟姐妹。

同樣的模式可以向上移到任一代。再一次，你的第n代堂表兄弟姐妹和你共享第(n+2)代祖先，但不共享第(n+1)代祖先。你的第n代祖先的同胞是你的曾?曾姑母或曾?曾叔伯，其中"曾"字重復n?1次。更進一步，你的第m代祖先的第n代堂表兄弟姐妹，以及你的第n代堂表兄弟姐妹的第m代后代，是你的第n代移去m次的堂表兄弟姐妹。

例如，當n=3及m=2時，你的祖雙親的第三代堂表兄弟姐妹是你的移去兩次的第三代堂表兄弟姐妹，你的第三代堂表兄弟姐妹的孫輩也是你的移去兩次的第三代堂表兄弟姐妹。向后追溯到n=3，給出：

在此圖中，你的第三代堂表兄弟姐妹(n=3)共享你的曾-曾-祖雙親中的兩位(第n+1=4代祖先)。你的曾-姑奶奶是你的曾-祖母的同胞姐妹(n=3)。你的移去一次的第二代堂表兄弟姐妹由于是你母親的第二代堂表兄弟姐妹而得到那個稱呼，而你的移去一次的第三代表妹獲得此名稱，因為她是你的第三代堂表兄弟姐妹的女兒。夠繁瑣的吧！

血濃于水

我們關心家庭之樹的理由之一是因為某些家庭關系對我們來說有種"更相關"的感覺，因而應當被幫助、保護及愛戴。這種態度可能有進化的基礎：我們的基因歷經多年而生存下來，是我們的祖先不懈努力的結果，不僅關心自己，而且也照顧近親。正如一句古代阿拉伯的貝督因格言："我緊靠我的弟兄，我的弟兄和我緊靠堂兄弟姐妹或表兄弟姐妹，而我的這些親屬又緊靠陌生人。"這清楚地表達了基因上與我們最近的人的關系學。

這就引出了一個問題：親戚的基因和我們自己的基因有多相似？首先，我們的基因物質的99.9%對所有人（甚至你家庭成員的配偶）都相同，且這確實就是為何我們是人類。更進一步，有些人可能偶然地和我們共享其他一些基因；例如，如果我遇見一個陌生人，棕色的眼睛就像我，但這卻不能保證我們是近親。此外，基因傳遞有許多隨機性（每個人分別從父母那里獲得一半的基因，但那一半的組成部分來自父母中的哪一個卻是隨機選擇的，無法預測），因此我們不能確切地得出精確的結論。

要處理所有這些問題，我們給予每人一個相關性系數，它代表著他們的基因借助于家庭關系而必須等同的期望分數值（即平均而言的分數值）。這種處理將所有的隨機性平均化，集中于更詳細地由于家庭聯系導致的基因相似性。

根據這個定義，陌生人具有0相關性（最小的可能值）。與此相對照，你和你自己的相關性為1。其他相關性系數落在這兩個極端值之間。例如，因為你從你母親處獲取了一半的基因物質，你和她的相關性值為1/2。你和你父親的相關性值也為1/2。同理，你和你的孩子的相關性值同樣是1/2。到此為止：

下一步考慮你的外祖母。她給了你母親一半基因，然后你母親也給了你一半基因。有可能你獲得的一半基因就是你母親從她母親獲得的那一半基因恰好一樣，也可能你的這一半基因與你母親從你外祖母得到的那一半基因沒有任何重疊。但是平均來說，也就是所期望的，你從你母親得到的基因中有一半來自你的外祖母，因而你和你的外祖母的相關性值是一半的一半，即1/2×1/2=1/4：

繼續向上追溯，你和你的曾祖母的相關性值是一半的一半的一半，即(1/2)×(1/2)×(1/2)=1/8：

(對任一層的父方上代類似）一般地，你和你的第n代祖先的相關性系數是1/2n。

同樣理由，你和你的第n代子孫的相關性系數也是1/2n。因此，你和你的女兒的相關性系數是1/2，和你孫女兒的是1/4，而和你重孫女兒的則是1/8（對"兒子"等等情形亦然）。

對兄弟姐妹而言，情形稍微復雜一點。首先考慮半-同胞情況（半-姐妹或半兄弟），即他們共享父母之一。因為他們的每一個具有來自共享那個父親或母親的一半基因物質，他們的相關性系數是一半的一半，即1/4：

正規（完全）同胞類似地共享來自其母的1/4基因物質及來自其父的1/4基因物質，這給出1/4+1/4=1/2總的相關性系數：

一個特殊情況是具有同樣基因的恒同孿生同胞，他們具有相關性系數1。但是來自父方的孿生同胞的相關性系數為1/2，和一般同胞一樣。

繼續向上走，因為你的母親和姨媽為同胞，她們的相關性系數為1/2。同時，你和你的母親的相關性系數為1/2，因此你和你的姨媽的相關性系數是1/2×1/2=1/4：

同樣，你和你的侄女或侄兒的相關性系數也是1/4。

然后，因為你的堂表兄弟姐妹和你的姨媽有相關性系數1/2，后者又與你有相關性系數1/4，由此可見，你和你的堂表兄弟姐妹共享相關性系數1/8：

現在，由于你的母親和她的堂表兄弟姐妹有相關性系數1/8，并由于你和你母親有1/2的相關性系數，且由于你母親的堂表兄弟姐妹與其孩子（你的第二代堂表兄弟姐妹）有1/2的相關性系數，由此得出你和你的第二代堂表兄弟姐妹的相關性系數為(1/2)×(1/8)×(1/2)=1/32：

一般地，從第n?1代堂表兄弟姐妹轉到第n代堂表兄弟姐妹將引入兩個新因子1/2。因為(1/2)×(1/2)=1/4，這意味著你和你的第n代的堂表兄弟姐妹的相關性系數總是等于1/4乘上你和你的第n?1代的堂表兄弟姐妹的相關性系數。由此可見，你和你的第n代的堂表兄弟姐妹的相關性系數是1/22n+1。

因此，你和你的堂表兄弟姐妹的相關性系數是1/8，與第2代的堂表兄弟姐妹的相關性系數是1/32，與第3代的堂表兄弟姐妹的相關性系數是1/128，等等。

關于移去一次的堂表兄弟姐妹等又是如何呢？這樣看吧：因為你和你的堂表兄弟姐妹的相關性系數是1/8，因為你的堂表兄弟姐妹與其孩子（你的移去一次的堂表兄弟姐妹）的相關性系數是1/2，因此你和你的移去一次的堂表兄弟姐妹有相關性系數(1/8)×(1/2)=1/16：

這個模式繼續下去，每一次新的"移去"引入一個額外的因子1/2到乘積中去。因此你和你的移去m次的第n代堂表兄弟姐妹有相關性系數1/22n+m+1。例如，你和你的移去兩次(m=2)的第三代(n=3)堂表兄弟姐妹的相關性系數是1/26+2+1=1/29=1/512---血緣關系不再近了。

我們可以將各種親戚關系的相關性系數列表如下：

這個表能被看成表達你必須保護及幫助親戚的進化等級，它由早期進化生物學家J.B.S. Haldane很好地總結出。當他被問及是否放棄自己的生命以救活淹水的兄弟時，他并且回答道："不，但是我會救兩個兄弟或八個堂表兄弟姐妹。"這里他注意到2×(1/2)=8×(1/8)=1，即兩個兄弟或八個堂表兄弟姐妹相當于他自己的一個拷貝。

那么，怎樣對待之前的那句格言："我緊靠我的弟兄，我的弟兄和我緊靠堂兄弟姐妹或表兄弟姐妹，而我的這些親屬又緊靠陌生人"？用相關性系數的說法，它對應于這個觀察：你和你自己的相關性系數(1)大于你和兄弟的相關性系數(1/2)，后者高于你和你堂表兄弟姐妹的相關性系數(1/8)，而這又高于你和陌生人的相關性系數(0)：

1>1/2>1/8>0.

說上句格言的先賢似乎早就通曉上面這個不等式了。

所有形式和規模的家庭

當然，與相關性系數有關的進化規則并沒有告訴家庭關系的整個故事。一般來說，人們會比保護堂兄弟姐妹更好地保護自己的配偶，雖然嚴格來說，一個人與配偶的相關性系數是零（因為沒有實際的血緣關系）。并且，養父母與領養的小孩并無真正的遺傳聯系，但一般來說他們也有很濃厚的親情。

不同的生命形式導致（遺傳基因）數量上的不同，許多的物種例如蜜蜂和螞蟻，雄性的遺傳基因信息量只有雌性基因的一半。

其他的家庭關系也可能會出現。例如，如果你結婚，那么你與配偶的關系成為相應的法律關系---你丈夫的父親是你的公公，你丈夫的堂表兄弟姐妹也是你法律意義上的等同物，等等。"法律"(in-law)的英文組合詞后綴也可用到與你的親戚結婚的人---例如，你哥哥的妻子是你的嫂嫂（英文直譯是法律意義上的姐姐）。（一個例外是你姨媽的丈夫可以被你稱為姨父，即使他是你"真正的"在法律意義上的舅舅；以及你叔叔的妻子同樣會被稱為嬸嬸。）

同時，一個女人可能成為你的繼母（或繼父，如果性別關系調換一下）。她和你的關系成為相應的"繼"關系---你繼母的哥哥是你的繼舅，且他的孩子是你的繼表兄弟姐妹，等等。當然，你和他們在法律意義上的遺傳相關性系數是零，因為你們的關系是通過婚姻而不是實際上的血緣。

家庭關系可能會導致意想不到的驚奇。在最近的一次大型家庭團聚中，我遇到了一個我不認識的年輕人。經過一番討論后，我們發現，我的曾祖父是他曾祖母的兄弟---這使得我們是第三代表兄弟。此外，我的曾祖母也是他曾祖父的妹妹。也就是說，三代以前，一家的弟弟和姐姐兩人分別和另一家的妹妹和哥哥結婚。這意味著，由兩條不同的路徑我和他都是第三代表兄弟---我們是"雙第三代表兄弟"！由此得出，我們的相關性系數是一般第三代表兄弟的兩倍---也就是等于2×(1/128)=1/64---仍然不是很密切，但卻很有趣。我對他說，"很高興見到你，第三代雙表弟。我很榮幸能分享六十四分之一你的基因。"

作 者: Jeffrey Rosenthal?

翻 譯: 丁玖，密執安州立大學博士，南密西西比大學數學教授?

校 對: 湯濤，香港浸會大學數學講座教授?

轉自：善科文庫

總結

以上是生活随笔為你收集整理的数学告诉你家庭关系的奥秘的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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