傅立叶变换是如何改变我们生活的? ——四个角度告诉你答案
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引子:
盡管沒有微積分那樣如雷貫耳的名聲,也沒有相對論那般獨辟蹊徑的創(chuàng)新,傅立葉變換卻悄悄地潛藏在我們生活中的方方面面,默默地改變著這個世界。
對于工科出身的讀者而言,傅立葉分析的第一印象可能是這樣的:
傅立葉變換的應(yīng)用之一——信號處理[1]
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在金融分析師眼里,傅立葉變換是這樣的:
傅立葉變換的應(yīng)用之二——時間序列分析[2]
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而在數(shù)學家眼里,傅立葉變換則像孫猴子一般擁有七十二變:
傅立葉變換的離散版——傅立葉級數(shù)
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群的傅立葉變換——連接分析和數(shù)論的橋梁[3]
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高效的傅立葉變換算法——快速傅立葉變換(FFT)[3]
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傅立葉分析的進化版——調(diào)和分析。
圖為Littlewood-Paley理論[4]
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可見無論在理論還是應(yīng)用領(lǐng)域,傅立葉變換都是瑰寶級的工具。事實上在信號處理、股票預(yù)測、數(shù)值模擬、微分方程、數(shù)論乃至數(shù)據(jù)壓縮,它都扮演著無可替代的角色。?
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再浩瀚的江河也必有源頭;要想深入了解傅立葉變換,得從它的來源說起。那么傅立葉到底是誰呢?
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因為“傅”也是百家姓之一,所以筆者首次見到傅立葉變換時,還以為這又是中國古代的一大發(fā)明。直到看到傅立葉具有中世紀特色的方便面發(fā)型和似毛毯外裹的穿著,才知道他并不是中國人:
傅立葉。圖片來自網(wǎng)絡(luò)
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傅立葉(1768-1830)出生于法國,是著名的數(shù)學家和物理學家[5]。除了傅立葉變換,著名的熱方程(Heat?equation,?最簡單的擴散方程)也出自于傅立葉之手。一個是積分變換,一個是微分方程,兩者貌似互不相關(guān),實際上則存在著千絲萬縷的聯(lián)系,讀者們會在接下來文章中有所體會。?此外,大氣溫室效應(yīng)也是他通過研究熱方程的解首次發(fā)現(xiàn)的(當時傅立葉錯誤地認為海洋像大氣一樣也具有溫室效應(yīng))[6-7]。
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現(xiàn)在我們對傅立葉變換已經(jīng)有了初步的認識。那么它是怎樣從一個高冷的數(shù)學概念“下凡”到日常生活中的呢?帶著這個疑問,我們進入第二部分。
天地萬物皆循道,信號狼藉索周期
大家知道太陽光、聲音和地震波等信號,都是由不同頻率的波(周期函數(shù))混雜而成。
書架上書太多就得分類,那么有沒有方法也把這些雜亂無章的信號分個類,比如把波按頻率分類出來呢?用數(shù)學的語言表述,給定一個函數(shù)f(x)(x為實數(shù)),我們能不能把f(x)變成另一個和頻率k有關(guān)的函數(shù),并且用來表示
的各個頻率成分的表現(xiàn)呢?這就是傅立葉變換的主要任務(wù),而就稱之為的傅立葉變換(不同地方的定義可能稍有不同,但本質(zhì)上都是一回事):
在實際應(yīng)用中,我們一般要求具有一些“良好性質(zhì)”,例如平方可積這樣和之間滿足Parseval恒等式。這個恒等式非常美妙,具體細節(jié)可參考[3]的第三章)。
然而在理論領(lǐng)域,這些函數(shù)通常不愿再“從良”,傅立葉分析就進化成了更加一般的調(diào)和分析(Harmonic Analysis),以對付這些不聽話的函數(shù)。
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為簡單起見,我們先考慮聽話的函數(shù)(平方可積函數(shù))。為什么(1)式積分號下會出現(xiàn)項呢?這一項里還有個虛數(shù)符號,看起來如少女心一般讓人難以捉摸,實際上歐拉恒等式可以告訴我們答案:
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這樣一看就清楚多了——正弦和余弦都是具有周期性的!那么(1)式必然同周期性存在著某種聯(lián)系!如果讀者們還不太相信,下面的動圖更加清晰地表現(xiàn)了和兩兄弟間的關(guān)系:
f(x)(紅色曲線)被分解為不同頻率,然后這些不同頻率又重新組合成
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當然傅立葉變換周期性還有很多其他應(yīng)用,下表是一個總結(jié):
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具體實例 | 傅立葉變換的作用 |
光譜分析 | 本質(zhì)上就是提取電磁波的頻率成分,可以用傅立葉變換完成。 |
? 時間序列分析 | 時間序列是和時間有關(guān)的隨機變量,人們通常關(guān)注這些隨機變量之間的相關(guān)性,所謂的譜分析正是因此而生(時間序列“譜”包含了隨機變量的相關(guān)性信息,和光譜有區(qū)別)。譜分析的關(guān)鍵就是對時間的傅立葉變換。 |
CT掃描(x光) | 這類問題是已知波方程的解,要倒回去推導(dǎo)原來的方程長什么樣(也就是估計原來方程的參數(shù)),數(shù)學上又稱為反問題(Inverse Problem)或參數(shù)估計(Parameter Estimation)問題。傅立葉變換在計算中起到關(guān)鍵作用。 |
雷達測距(無線電波) | |
地震測量(地震波) |
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微分積分各行事,傅式變換穿針線
在上一部分中,我們知道了傅立葉變換是如何與周期性,或者函數(shù)的頻率產(chǎn)生聯(lián)系的。事實上傅立葉變換的另一個重要作用在于解微分方程。傅立葉變換是積分變換,怎么運用到微分運算當中去呢?一切都源于傅立葉變換的一個重要性質(zhì):
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這里表示對作傅立葉變換。大事化小小事化了,上面(3)式提示我們,傅立葉變換可以把復(fù)雜的偏微分方程轉(zhuǎn)化為簡單的常微分方程,也可以把常微分方程轉(zhuǎn)化更加簡單的代數(shù)方程!例如考慮同出自傅立葉之手的熱方程:
通常情況下只需要轉(zhuǎn)換為常微分方程就足夠了,沒有必要進一步轉(zhuǎn)換
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解一階常微分方程是非常容易的。不過不要高興太早,我們得到的解只是
關(guān)于x的傅立葉變換,還得想辦法把給還原出來。其實數(shù)學上我們可以證明和它的傅立葉變換具有一一對應(yīng)的關(guān)系,因此只要知道了,熱方程的解也就呼之欲出!這個結(jié)論可以參考文獻[3]的第四章。
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因為(3)中美妙的性質(zhì)(把微分變成指數(shù)),傅立葉變換在微分方程領(lǐng)域大顯身手。不過隨著自然科學領(lǐng)域各種問題的復(fù)雜化,方程也開始變得多種多樣(例如初邊值條件的差異和方程系數(shù)光滑性發(fā)生變化等等),方程的解也越發(fā)地奇形怪狀。上有政策下有對策,調(diào)和分析這一新興領(lǐng)域隨之破殼而出;盡管身份似已改頭換面,其核心思想仍然是傅立葉分析。本文第六部分還會對此展開進一步討論。
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抽象代數(shù)示玄機,解析數(shù)論展天威
相信現(xiàn)在讀者們已經(jīng)了解到傅立葉變換的強大威力了:從光譜分析到CT成像,再到微分方程的解,可以說只要和自然科學有關(guān),傅立葉分析就無處不在。
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然而這就是傅立葉變換的全部威力了嗎?非也!令很多人意外的是,在晦澀難懂的數(shù)論領(lǐng)域,傅立葉變換也發(fā)揮著至關(guān)重要的啟發(fā)性作用。
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傅立葉變換不是定義在實數(shù)上的嗎,怎么能運用到離散的數(shù)論上去呢?這就要靠數(shù)學家們的偉大創(chuàng)造力了——既然實數(shù)上可以定義傅立葉變換,那么我們也可以在代數(shù)群上定義傅立葉變換。
這種定義的難點在于代數(shù)群和實數(shù)不同,一般說來前者是沒有“連續(xù)性”的概念的(這里不考慮連續(xù)群),所以不能通過積分來定義群的傅立葉變換。不過群表示理論里面的一個重要概念——特征標(Character)為傅立葉變換的定義鋪好了道路。一個群G的特征標定義為G上的某種函數(shù):
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其中“”表示群里面的抽象“乘法”運算,不一定是實數(shù)的乘法。表示一個圓圈,可以用
來表示(下圖是一個例子)。這樣,G中元素a的傅立葉變換就是?[3]。
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把傅立葉變換移植到那么抽象的代數(shù)群上面干什么呢?事實上,用這個概念可以證明數(shù)論中一個非常美妙而簡潔的結(jié)論:如果a和d是互素的整數(shù),那么數(shù)列
中有無窮多個素數(shù)。這個結(jié)論又稱作狄利克雷定理[11]。
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有高等數(shù)學背景的讀者也許對“狄利克雷”這個名字并不陌生。狄利克雷是德國數(shù)學家,比傅立葉晚幾十年出生,并且在解析數(shù)論(用復(fù)分析的方法研究數(shù)論)領(lǐng)域有很多杰出貢獻[12]。粗略地講,為了證明上面這個結(jié)論,狄利克雷對循環(huán)群(也就是正整數(shù)的同余類)定義了一種特殊的特征標——狄利克雷特征標,并利用這個特征標引入了L函數(shù)的概念:
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通過研究這個函數(shù)的斂散性,就能證明狄利克雷定理,有興趣的讀者可以參考文獻[3]的最后一章。
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砍瓜切菜破概率,化零為整道極限
眼看著傅立葉變換在工程、微分方程和數(shù)論等不同領(lǐng)域大顯身手,統(tǒng)計學家們坐不住了:“有沒有辦法把傅立葉變換應(yīng)用到概率統(tǒng)計中呢?”答案是肯定的,這就是概率論中著名的特征函數(shù)(Character Function)。對于一個實值隨機變量X,概率分布函數(shù)為, 它的特征函數(shù)(傅立葉變換)被定義為:
特征函數(shù)是概率論和數(shù)理統(tǒng)計中一個極為強大的工具,很多著名的結(jié)論都是通過特征函數(shù)來證明的。例如中心極限定理,強大數(shù)律等。傅立葉變換之所以能在概率統(tǒng)計也能自成一派,究其根底,是源于它的另一個性質(zhì)(把兩個測度或函數(shù)的卷積變?yōu)槌R?guī)乘法):
其中?
表示和的卷積(Convolution)。卷積在概率統(tǒng)計中是非常重要的——假設(shè)X和Y是獨立隨機變量,?分別是對應(yīng)的概率分布函數(shù),那么新隨機變量Z := X+Y的概率分布函數(shù)就是?。
以此類推,假設(shè)是n個獨立隨機變量(不要求同分布),那么的分布函數(shù)就是。卷積涉及到積分運算,很麻煩,有沒有辦法把卷積化簡稱為一般的乘積呢?
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也許一些聰明的讀者已經(jīng)看出來了,如果對進行傅立葉變換,不就變成了n個函數(shù)的乘積么!
這樣一來,的分布函數(shù)似乎就沒有那么復(fù)雜了。這便是概率統(tǒng)計領(lǐng)域許多經(jīng)典結(jié)論的思想精髓所在。
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純理論的分析總是抽象的,那么我們來實戰(zhàn)一下。以中心極限定理為例:
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摘選自文獻[13]
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這個定理是說,當隨機變量個數(shù)增加以后,?漸進服從正態(tài)分布。這個定理的核心思想,就是求出?的特征函數(shù)(傅立葉變換),然后證明這個特征函數(shù)趨近于正態(tài)分布的特征函數(shù)即可(用泰勒展開可證)。
在本文第三部分中,筆者提到傅立葉變換是可逆的,因此特征函數(shù)可以完全決定概率分布函數(shù)。具體證明可參考文獻[14](這本書從三級數(shù)定理出發(fā),推導(dǎo)出了更普遍的中心極限定理和相關(guān)估計,但核心思想都是特征函數(shù))。
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不僅僅是傳統(tǒng)
到此為止,傅立葉分析這個上天入地上無所不能、無孔不入、無處不在的數(shù)學工具,已經(jīng)讓不少讀者大開眼界了。不過這還滿足不了數(shù)學工作者們的胃口——上文介紹的內(nèi)容,大都屬于經(jīng)典范疇,數(shù)學系老司機們對此都已經(jīng)耳熟能詳了。
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然而對于這么一個強有力的工具,傅立葉分析的野心絕不僅限于經(jīng)典數(shù)學。除了上文提到的這些“元配”,傅立葉分析和現(xiàn)代數(shù)學之間也有著千絲萬縷的聯(lián)系。例如:
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周期性與信號處理:
基于傅立葉變換和函數(shù)周期性的關(guān)系,人們發(fā)展出了小波分析(Wavelet Analysis)和壓縮感知(CompressionSensing)等新興數(shù)學領(lǐng)域。
例如小波分析,本質(zhì)上就是把把模擬(連續(xù))或數(shù)字(離散)信號從時空域轉(zhuǎn)換到頻域,用以提取信號的頻率特征,因而是信號處理過程的關(guān)鍵。著名的香農(nóng)采樣定理(Shannon samplingtheorem)給出了信號最小采樣點個數(shù)和信號頻率間的關(guān)系,成為小波分析領(lǐng)域的關(guān)鍵定理。
壓縮感知則是一種信號采樣的技巧,目的在于通過盡可能少的采樣點恢復(fù)出原有信號。壓縮感知產(chǎn)生于上世紀90年代,其核心算法就是在當時紅頭一邊天的Lasso方法(這種方法是統(tǒng)計學家發(fā)明的,能夠減少數(shù)學模型中參數(shù)的個數(shù))。壓縮感知最引人注目之處在于,它很好地利用了信號的頻率特點,甚至突破香農(nóng)采樣定理中的最小采樣點個數(shù)限制[16]。
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微分方程的解:
由于傅立葉分析只能對付性質(zhì)良好的函數(shù)(如L2函數(shù)),無法滿足許多實際問題,于是人們逐漸發(fā)展出了武藝更為高強的調(diào)和分析(Harmonic Analysis),有興趣的讀者可以參考這一領(lǐng)域的經(jīng)典著作[8]。
至于調(diào)和分析如何運用于微分方程,則可以參考苗長興教授的兩本著作[4]和[9]。調(diào)和分析的最新應(yīng)用之一,則是陶哲軒于2014年用證明了某種弱化版三維Navier-Stokes方程(千禧年七大數(shù)學難題之一)解的存在性和爆破性[10](Finite-time blowup),其中的關(guān)鍵就是運用了傅立葉變換中的思想(具體說來叫做Fourier Multiplier,可參考[8])。
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數(shù)論與組合:
筆者在第五部分末提到了L函數(shù)的概念。事實上L函數(shù)是解析數(shù)論中的核心課題之一,黎曼猜想(另一個千禧年七大數(shù)學難題)中出現(xiàn)的zeta函數(shù)就是L函數(shù)的特例。
此外,陶哲軒在2008年證明了“素數(shù)集合中包含任意長度的等差數(shù)列”這一結(jié)論(稱作Green-Tao定理),算是狄利克雷定理的某種推廣,有興趣的讀者可以參考[15];而這篇文章中一個重要思想,便是把傅立葉分析的思想運用到拓撲群(既有群結(jié)構(gòu)又有拓撲結(jié)構(gòu),因此可以同時用分析和代數(shù)兩種手段研究它)上[17]。作為數(shù)學界中罕見的全能手,傅立葉分析或許正是陶哲軒最重要的思想源泉。
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概率論:
自從用特征函數(shù)法證明了中心極限定理以后,人們感受到了傅立葉分析在概率統(tǒng)計中的神奇功效。
概率論一大分支——概率極限理論(Asymptotic Theory)中的許多結(jié)論就是通過特征函數(shù)的方法證明的,例如Berry-Essen中心極限定理。該定理可視作中心極限定理的某種加強,因為它給出了中心極限定理中漸進正態(tài)的速度(隨著隨機變量個數(shù)當增加,這些變量會以怎樣的速度近似于正態(tài)分布)。具體證明可參考文獻[14]。
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結(jié)語
到此為止我們已經(jīng)強烈感受到,傅立葉變換在不同領(lǐng)域都有著非凡的價值。為加深讀者們的印象,最后對本文大體內(nèi)容做一總結(jié):
應(yīng)用領(lǐng)域 | 所涉及的傅立葉變換性質(zhì) |
頻率分析及譜分析 | 提取對應(yīng)函數(shù)的頻率(周期)信息,或者通過函數(shù)的頻率信息推導(dǎo)出原函數(shù)的表達式。 |
微分方程 | 把微分轉(zhuǎn)化為指數(shù),并且這一轉(zhuǎn)化是可逆的。 |
數(shù)理統(tǒng)計 | 把卷積轉(zhuǎn)化為普通乘積,并且這一轉(zhuǎn)化是可逆的。 |
解析數(shù)論 | 把離散的代數(shù)群轉(zhuǎn)換到連續(xù)的復(fù)平面上,把數(shù)論問題轉(zhuǎn)化為分析問題。這一轉(zhuǎn)化也是可逆的。 |
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從以上總結(jié)不難看出,盡管傅立葉變換的應(yīng)用領(lǐng)域看似毫不相關(guān),實際上它們都有一個共同點——即都運用到了傅立葉變換的可逆性。正是這個原因,傅立葉變換才能作為一條暗藏的主線,把各行各業(yè)都串聯(lián)了起來。表面上抽象難懂實際上簡潔普適,這正是數(shù)學的魅力和精髓所在。
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其實數(shù)學上的積分變換還有很多,例如拉普拉斯變換(實數(shù)版的傅立葉變換),希爾伯特變換(把正弦變成余弦,在相位分析中很有用)以及更一般的蓋爾范德變換(通過算子代數(shù)的觀點看傅立葉變換)等等。它們在自然科學界中獨領(lǐng)風騷,各有風采,相互間又有千絲萬縷的聯(lián)系。因此只要抓住了傅立葉變換的基本思想和特點,其它的積分變換也都變成了囊中之物。
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從19世紀初的法國誕生到現(xiàn)在,傅立葉變換依然是科研界非常活躍的話題。或許今后傅立葉變換會有更多用武之地,但這不僅僅要依靠數(shù)學家的獨特創(chuàng)造力,還要靠整個科學界的共同努力合作,畢竟科學是不存在嚴格分界線的。
盡管分支眾多,不同學科之間都是緊密相連的
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寫在最后
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參考文獻:
[1]?https://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_analysis.
[2]http://traders.com/Documentation/FEEDbk_docs/2007/01/TradersTips/TradersTips.html.
[3] E.M. Stein, Fourier Analysis – an Introduction.
[4] 苗長興,《調(diào)和分析及其在偏微分方程中的應(yīng)用(第二版)》。
[5]?https://en.wikipedia.org/wiki/Joseph_Fourier.
[6] Jheni Osman, 100 Ideas that Changed the World.
[7] J.J. Fourier, On the Temperatures of the TerrestrialSphereand Interplanetary Space.
[8] LoukasGrafakos, Classical and Modern FourierAnalysis.
[9] 苗長興,張波,《偏微分方程的調(diào)和分析方法》。
[10] T. Tao, Finite time blowup for an averagedthree-dimensional Navier-Stokes equation.
[11]??https://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet%27s_theorem_on_arithmetic_progressions.
[12]?https://en.wikipedia.org/wiki/Peter_Gustav_Lejeune_Dirichlet.
[13] 陳希孺,《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》。
[14] J. Durrett Probability: Theory and Examples.
[15] B. Green andT. Tao, The primes contain arbitrarilylong arithmetic progressions.
[16] EmmanuelCandes, Justin Romberg, and Terence Tao, RobustUncertainty Principles: Exact Signal Reconstruction from Highly IncompleteFrequency Information.
[17] Bump. Daniel,Lie groups, Springer 2004.
總結(jié)
以上是生活随笔為你收集整理的傅立叶变换是如何改变我们生活的? ——四个角度告诉你答案的全部內(nèi)容,希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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