浮點數也稱做實型數據(實數)，形式上就是數學中的小數。浮點型數據有兩種表達方式： 一種是用數字和小數點表示的，如123.456； 另一種是用指數方式表示，如1.2e-6 或1.2E-6(1.2*10-6)。

在計算機中實數是如何存儲的呢？主要分為定點實數存儲方式和浮點實數存儲方式這兩種。所謂定點實數，就是約定整數位和小數位的長度，比如用4字節存儲實數，我們可以讓高兩個字節存放整數部分，低兩個字節存儲小數部分。這樣的好處是計算的效率高，缺點是如果我們想存儲65536.5，由于整數的表達范圍超過了兩個字節，用定點存儲的方式就無法存儲了。

對應地，也有浮點實數存儲方式，就是用一部分二進制位存放小數點的位置信息，我們可以稱之為”指數域”,其他的數據位用來存儲沒有小數點的數據和符號，我們可以稱之為“數據域”、“符號域”。在訪問時取得指數域，與數據域運算后得到真值，如67.625，利用浮點實數存儲方式，數據域可以記錄為67625，小數點的位置可以記錄為10的-3次方。后來引進了浮點協處理器(FPU)，專門負責對浮點數的處理，使得對處理實數的效率大大提高，于是浮點實數存儲方式也就普及開來，成為了現在主流的實數存儲方式。

在C/C++中，使用浮點方式存儲實數，用兩種數據類型來保存浮點數：float(單精度)和double(雙精度)。Float在內存中占用4字節空間，double在內存中占用8個字節空間。Double類型比float類型精度更高。這兩種數據在內存中都是以十六進制方式存儲，但與整型數據有所不同。

整型數據是將十進制直接轉換成二進制保存在內存中，以十六進制方式顯示。而浮點類型不是將一個浮點小數直接轉換成二進制保存，而是將浮點小數轉換成二進制碼 后 重新編碼，再進行存儲。C/c++的浮點數是有符號的。

在C/C++中，將浮點數強制轉換成整數時，不會采用數學上的四舍五入方式，而是舍棄掉小數部分。

浮點數的操作不會用到通用寄存器，而是用浮點協處理器的浮點寄存器。

浮點數的編碼方式

浮點編碼轉換采用的是IEEE規定的編碼標準，float和double這兩種類型數據的轉換原理相同，但由于表示的范圍不一樣，編碼方式有些區別。IEEE規定的浮點數編碼會將一個浮點數轉換為二進制數。以科學計數法劃分，將浮點數拆分為3個部分：符號、指數和尾數。

1、float類型的IEEE編碼

Float類型在內存中占4個字節(32位)。最高位表示符號：在剩余的31位中，從右到左取8位 用于表示指數，其余用于表示尾數。如圖2-2所示：

float類型的IEEE編碼

1)在進行二進制轉換前，需要對單精度(float)浮點數進行科學計數法轉換。例如，將float類型的12.25f(f表示為float單精度類型)轉換為IEEE編碼，需要將12.25f轉換成對應的二進制數1100.01，整數部分為1100，小數部分為01。小數點向左移動，每移動1次指數加1，移動到除了符號位的最高位1處，停止移動。這里移動3次。對12.25f進行科學記數法轉換后的二進制部分為1.10001，指數部分為3。在IEEE編碼中，由于在二進制情況下，最高位始終為1，為一個恒定值，故將其忽略不計。這里是一個正數，所以符號位添0。

12.25f經過IEEE轉換后各位的情況：

符號位：0

指數為：十進制 3+127，轉換為二進制10000010

尾數位：10001 000000000000000000(當不足23位時，低位補0填充)

由于尾數位中最高位1是恒定值，故省略不計，只要在轉換回十進制時加1即可。為什么指數位要加127呢？由于指數可能出現負數，十進制127 可表示二進制數 01111111。IEEE編碼方式規定，當指數域小于0111111時為一個負數，反之為正數，因此 指數域加上十進制數 127 表示正數。

12.25f轉換后的IEEE編碼按二進制拼接為 0 10000010 10001000000000000000000。轉換后成十六進制數 0x41440000，內存中以小端進行存儲，故為 00 00 44 41。分析結果如圖所示：

2)上面演示了符號位為正，指數為也為正的情況。那么什么情況下指數位可以為負呢？根據科學記數法，小數點向整數部分移動時，指數做加法。相反，小數點向小數部分移動時，指數需要以0起始做減法。浮點數 -0.125f轉換成IEEE編碼后，將會是一個符號位為1，指數部分為負的小數。-0.125f經轉換后二進制部分為0.001，用科學記數法為1.0，指數為-3。

-0.125f 經過IEEE轉碼后各位的情況為：

符號位：1

指數位：十進制127+(-3)，轉換為二進制是 01111100，如果不足8位，則高位補0

尾數位：0000000000000000000000000

-0.125f經轉換后的IEEE編碼二進制拼接為 1 01111100 0000000000000000000000000。轉換后成十六進制為 0xBE000000，內存中顯示為 00 00 00 BE。分析結果如圖所示：

3)上面的兩個浮點小數部分轉換為二進制時都是有窮的，如果小數部分轉換為二進制時得到一個無窮值，則會根據尾數部分的長度舍棄多余的部分。單精度浮點數1.3f，小數部分轉換為二進制就會產生無窮值，依次轉換為0.3、0.6、1.2、0.4、0.8、1.6、1.2、0.4、0.8...，轉換后得到的二進制數位1.01001100110011001100110，到第23為時終止，尾數部分無法再保存。

1.3f經過IEEE轉換后各位的情況：

符號位：0

指數位：十進制0+127，轉換二進制01111111

尾數位：01001100110011001100110

1.3f 轉換后的IEEE編碼二進制拼接為 0 01111111 01001100110011001100110。轉換成十六進制數位 0x3fa66666，內存中顯示為 66 66 a6 3f。由于在轉換二進制過程中產生了無窮值，舍棄了部分位數，所以進行IEEE編碼轉換后得到的是一個近似值，存在一定的誤差。再將這個IEEE編碼值轉換成十進制小數，得到的值為1.2516582，四舍五入后為1.3.這也解釋了為什么C++ 在比較浮點數值是否為0時，要做一個區間而不是直接進行等值比較。如：

float fTemp = 0.0001f; // 精確范圍

if (fFloat >= -fTemp && fFloat <= fTemp)

{

fTemp等于0

}

2.double類型的IEEE編碼

前文講解了單精度浮點類型的IEEE編碼。Double類型和float類型大同小異，只是double類型表示的范圍更大，占用空間更多，精度更準。

Double 類型占8字節的內存空間，同樣最高位也用于表示符號，指數位占11位，剩余的52位用于表示尾數。

在float中，指數位范圍用8位表示，加127后用于判斷指數符號。在double中，由于擴大了精度，因此指數范圍使用11位正數來表示，加上1023來用于指數符號判斷。

Double 類型的IEEE編碼轉換過程和float一樣。

3.浮點數指令

浮點數的操作指令和普通數據類型不同，浮點數操作是通過浮點寄存器來實現的，而普通數據使用的是通用寄存器，如eax、edx、ebx等。

浮點寄存器是通過棧結構來實現的，由ST(0)~ST(7)共8個棧空間組成，每個浮點寄存器占8個字節。每次使用浮點寄存器都是先使用St(0),而不能越過ST(0)直接使用ST(1)。浮點寄存器的使用就是壓棧、出棧的過程。當ST(0)存在數據時，執行壓棧操作，ST(0)中的數據將進入到ST(1)中，如無出棧操作，將順序地向下壓棧，直到將浮點寄存器占滿。常用浮點數指令如下所示：IN 表示操作數 入棧。OUT表示操作數出棧。

常用浮點數指令

其他運算指令和普通指令類似，只需在前面加F就行，如 FSUB和FSUBP等。

在使用浮點指令時，都要先利 用ST(0)進行運算。當ST(0)中有值時，便會將ST(0)中的數據順序向下存放到ST(1)中，然后再將數據放入ST(0)中。如果再次操作ST(0)，則會先將ST(1)中的數據放入ST(2)中，然后將ST(0)中的數據放入到ST(1)中，最后才將新的數據存放到ST(0)。以此類推，在八個浮點寄存器都有值的情況下繼續向ST(0)存放數據，這時會丟棄ST(7)中的數據信息。

1)下面通過一個簡單的例子來了解各個指令的使用流程：

// 浮點數使用

float fFloat = (float)argc;

00401028 fild dword ptr [ebp+8]

//將ebp+8處的整型數據轉換成浮點型，并放入ST(0)中，對應變量 argc

0040102B fst dword ptr [ebp-4]

//從ST(0) 中取出數據以浮點編碼的方式放入地址ebp-4 中，對應變量 fFloat

printf("%f", fFloat);

0040102E sub esp,8

//這里對esp減 8 操作是由于浮點數作為變參函數的參數時需要轉換成雙精度浮點值,

//這步操作是 提前準備8字節的棧空間，以便存放double數據。

00401031 fstp qword ptr [esp]

//將ST(0) 中的數據傳入esp中，并彈出ST(0)。

00401034 push offset string "%f" (00426020)

00401039 call printf (00401420)

0040103E add esp,0Ch

argc = (int)fFloat;

//將 float類型數據轉換成int型

00401041 fld dword ptr [ebp-4]

//將ebp-4處的數據以浮點型壓入ST(0)中。

00401044 call __ftol (00401588)

//調用函數 __ftol 進行浮點數轉換， __ftol的實現見下文。

00401049 mov dword ptr [ebp+8],eax

printf("%d", argc);

0040104C mov eax,dword ptr [ebp+8]

0040104F push eax

00401050 push offset string "%d" (0042601c)

00401055 call printf (00401420)

0040105A add esp,8

從上面示例中可以發現，float類型的浮點數雖然占4個字節，但都是以8個字節(qword)方式進行處理。當浮點數作為參數時，并不能直接壓棧。Push 指令只能傳入4字節數據到棧中，這樣會丟失4字節數據。這就是為什么使用printf函數以整型方式輸出浮點數會產生錯誤的原因。Printf以整數方式輸出時，將對應參數作為4字節數據，按補碼方式解釋。而真正壓入的參數為浮點類型時，數據長度為8字節，需要按浮點編碼解釋。

2)浮點數作為返回值的情況也是如此，同樣需要傳遞8字節數據，代碼如下所示：

float fFloat;

fFloat = GetFloat();

00401058 call @ILT+5(_GetFloat) (0040100a)

//調用GetFloat函數

0040105D fst dword ptr [ebp-4]

//由于浮點數需要特殊處理，浮點數占8個字節，無法使用EAX進行傳遞

//因此使用 浮點寄存器 ST(0) 作為返回值

printf("%f", fFloat);

00401060 sub esp,8

00401063 fstp qword ptr [esp]

00401066 push offset string "%f" (00426020)

0040106B call printf (00401420)

00401070 add esp,0Ch

//GetFloat 函數

float GetFloat()

{

00401010 push ebp

00401011 mov ebp,esp

00401013 sub esp,40h

00401016 push ebx

00401017 push esi

00401018 push edi

00401019 lea edi,[ebp-40h]

0040101C mov ecx,10h

00401021 mov eax,0CCCCCCCCh

00401026 rep stos dword ptr [edi]

return 12.25f;

00401028 fld dword ptr [string "%d" (0042601c)]

//將浮點數保存在 ST(0)中，在返回值為浮點數的情況下，無法使用EAX

//使用ST(0)作為返回值進行傳遞。

}

0040102E pop edi

0040102F pop esi

00401030 pop ebx

00401031 mov esp,ebp

00401033 pop ebp

00401034 ret

3)在上面代碼中，float型數據被強制轉換為int型，編譯器通過了__ftol函數實現了轉換過程，如下面所示：

__ftol:

00401588 push ebp

00401589 mov ebp,esp

0040158B add esp,0FFFFFFF4h

//保存環境，預留語句變量空間

0040158E wait

0040158F fnstcw word ptr [ebp-2]

00401592 wait

00401593 mov ax,word ptr [ebp-2]

00401597 or ah,0Ch

0040159A mov word ptr [ebp-4],ax

0040159E fldcw word ptr [ebp-4]

//浮點異常檢查、CPU與FPU的同步工作

004015A1 fistp qword ptr [ebp-0Ch]

//從ST(0)中取出8字節數據轉換成整型并存入到ebp-0ch中

//從ST(0)中彈出

004015A4 fldcw word ptr [ebp-2]

004015A7 mov eax,dword ptr [ebp-0Ch]

//使用eax保存整型數據的低4字節，用于返回

004015AA mov edx,dword ptr [ebp-8]

//使用edx保存整型數據的高4字節，用于返回

004015AD leave

//釋放棧空間

004015AE ret

004015AF int 3

————————摘自《C++反匯編與逆向分析技術揭秘》

總結

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