歐拉公式是指以歐拉命名的諸多公式。其中最著名的有， 復變函數(shù)中的歐拉幅角公式--將 復數(shù)、 指數(shù)函數(shù)與 三角函數(shù)聯(lián)系起來； 拓撲學中的歐拉 多面體公式；初等數(shù)論中的 歐拉函數(shù)公式。 此外還包括其他一些歐拉公式，比如 分式公式等等。

空間中的歐拉公式

V+F-E=X(P)，V是多面體P的頂點個數(shù)，F是多面體P的面數(shù)，E是多面體P的棱的條數(shù),X(P)是多面體P的歐拉示性數(shù)。 如果P可以同胚于一個球面（可以通俗地理解為能吹脹而繃在一個球面上），那么X(P)=2，如果P同胚于一個接有h個環(huán)柄的球面，那么X(P)=2-2h。 X(P)叫做P的歐拉示性數(shù)，是拓撲不變量，就是無論再怎么經(jīng)過拓撲變形也不會改變的量，是拓撲學研究的范圍。 在多面體中的運用: 簡單多面體的頂點數(shù)V、面數(shù)F及棱數(shù)E間有關系 V+F-E=2 這個公式叫歐拉公式。公式描述了簡單多面體頂點數(shù)、面數(shù)、棱數(shù)特有的規(guī)律。

平面上的歐拉公式

V+F-E=X(P),其中V是圖形P的頂點個數(shù)，F是圖形P內(nèi)的區(qū)域數(shù)，E是圖形的邊數(shù)。 在非簡單多面體中，歐位公式的形式為： V-E+F-H=2(C-G) 其中H指的是平面上不完整的個數(shù)，而C指的是獨立的多面體的個數(shù)，G指的是多面體被貫穿的個數(shù)。 證明 （1） 把多面體（圖中①）看成表面是薄橡皮的中空立體。
　　（2） 去掉多面體的一個面，就可以完全拉開鋪在平面上而得到一個平面中的直線形，像圖中②的樣子。假設F′，E′和V′分別表示這個平面圖形的（簡單）多邊形、邊和頂點的個數(shù)，我們只須證明F′-E′+V′=1。
　　（3） 對于這個平面圖形，進行三角形分割，也就是說，對于還不是三角形的多邊形陸續(xù)引進對角線，一直到成為一些三角形為止，像圖中③的樣子。每引進一條對角線，F′和E′各增加1，而V′卻不變，所以F′-E′+V′不變。因此當完全分割成三角形的時候，F′-E′+V′的值仍然沒有變。有些三角形有一邊或兩邊在平面圖形的邊界上。
　　（4） 如果某一個三角形有一邊在邊界上，例如圖④中的△ABC，去掉這個三角形的不屬于其他三角形的邊，即AC，這樣也就去掉了△ABC。這樣F′和E′各減去1而V′不變，所以F′-E′+V′也沒有變。
　　（5） 如果某一個三角形有二邊在邊界上，例如圖⑤中的△DEF，去掉這個三角形的不屬于其他三角形的邊，即DF和EF，這樣就去掉△DEF。這樣F′減去1，E′減去2，V′減去1，因此F′-E′+V′仍沒有變。
　　（6） 這樣繼續(xù)進行，直到只剩下一個三角形為止，像圖中⑥的樣子。這時F′=1，E′=3，V′=3，因此F′-E′+V′=1-3+3=1。
　　（7） 因為原來圖形是連在一起的，中間引進的各種變化也不破壞這事實，因此最后圖形還是連在一起的，所以最后不會是分散在向外的幾個三角形，像圖中⑦那樣。
　　（8） 如果最后是像圖中⑧的樣子，我們可以去掉其中的一個三角形，也就是去掉1個三角形，3個邊和2個頂點。因此F′-E′+V′仍然沒有變。
　　即F′-E′+V′=1^[3]
　　成立，于是歐拉公式：
　　得證。

總結

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