引言

在數值積分中，梯形公式是最基本的公式之一，其代數精度為1。

梯形公式的可以從圖形中直接得到，也可以先作兩點線性插值然后求積分得到（即梯形公式為插值型求積公式）。由于梯形公式是插值型的，由此可得，當f(x)∈C(2)[a,b]時，梯形公式的余項為

RT=∫baf′′(ξ(x))2(x?a)(x?b)dx
其中， f′′(ξ(x))2(x?a)(x?b)為線性插值余項， ξ(x)∈[a,b]且依賴于 x。利用梯形公式的代數精度為1，我們可以進一步得到
RT=?(b?a)312f′′(η(x)),η(x)∈(a,b).

---

梯形公式

設f(x)∈C(2)[a,b]，由于

∫baf(x)dx=∫baf(x)d(x?a)=(b?a)f(b)?∫baf′(x)(x?a)dx
及
∫baf(x)dx=∫baf(x)d(x?b)=(b?a)f(a)?∫baf′(x)(x?b)dx
將上面兩式相加除以2，得
∫baf(x)dx===b?a2[f(a)+f(b)]?12∫baf′(x)[(x?a)+(x?b)]dxb?a2[f(a)+f(b)]?12∫baf′(x)d[(x?a)(x?b)]b?a2[f(a)+f(b)]+12∫baf′′(x)(x?a)(x?b)dx

---

復合梯形公式

設將[a,b]分為n等分，令h=(b?a)/n，xk=a+kh，k=0,1,…,n。由前面的推導，得

∫xk+1xkf(x)dx=h2[f(xk)+f(xk+1)]+12∫xk+1xkf′′(x)(x?xk)(x?xk+1)dx
于是
∫baf(x)dx=Tn+∑k=0n?1∫xk+1xkf′′(x)Pk(x)dx
其中
Tn=h2∑k=0n?1[f(xk)+f(xk+1)]=h2[f(a)+∑k=1n?1f(xk)+f(b)]
Pk(x)={12(x?xk)(x?xk+1),0,xk≤x≤xk+1其他
定義以 h為周期的函數P(x)，使
P(x)=P0(x),x∈[x0,x1]
則
∫baf(x)dx==Tn+∑k=0n?1∫xk+1xkf′′(x)Pk(x)dxTn+∫baf′′(x)P(x)dx

總結

以上是生活随笔為你收集整理的用分部积分推导梯形数值积分公式的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。