目錄

• 1. 前言
• 2. 網(wǎng)
• 3. 濾子

1. 前言

我們假設(shè)讀者已經(jīng)了解點(diǎn)集拓?fù)涞囊恍┗A(chǔ)概念，例如開(kāi)集，鄰域，緊空間等等，我們現(xiàn)在討論拓?fù)淇臻g中的收斂性。
我們知道，在度量空間中，許多拓?fù)湫再|(zhì)可以用序列刻畫(huà)，例如

• 在度量空間$X$中，集合$A?X$，則$A$的閉包可以被序列刻畫(huà)：
  $$\overline{A}=\{x\in X:存在序列x_n\in A，且d(x_n,x)\to 0\}.$$

但是在一般的拓?fù)淇臻g中，序列這個(gè)概念已經(jīng)不足以刻畫(huà)拓?fù)湫再|(zhì)了，例如

(第一不可數(shù)序，the first uncountable ordinal) 我們?cè)谖恼录吓c拓?fù)?第一不可數(shù)序中介紹了第一不可數(shù)序${\omega }_1$，在序拓?fù)渲?#xff0c;${\omega }_1=\mathbf{s}\mathbf{e}\mathbf{g}{y}_0?(?\infty ,y_0]$，驗(yàn)證：

• ${\omega }_1$在$(?\infty ,y_0]$中是序列閉的，即任何收斂序列$(x_n)?{\omega }_1$的極限$x$仍在${\omega }_1$中。
• ${\omega }_1$在$(?\infty ,y_0]$中不是閉集。

因此，我們需要一些更廣泛的概念來(lái)描述拓?fù)湫再|(zhì)。1922年，Moore和Smith發(fā)現(xiàn)了一種序列的推廣，幾乎可以完美地刻畫(huà)拓?fù)湫再|(zhì)，他們稱之為“網(wǎng)（nets）”。1937年，Cartan發(fā)現(xiàn)另一種推廣，被稱為“濾子（filters）”，雖然濾子的定義看起來(lái)和序列關(guān)系不大，但濾子也能刻畫(huà)拓?fù)湫再|(zhì)，在某種意義下，比網(wǎng)更合適。
我們將證明，濾子和網(wǎng)的概念事實(shí)上是等價(jià)的。

2. 網(wǎng)

定義1(序列). 設(shè)$X$是一個(gè)集合，$X$中的一個(gè)序列$(x_n)$定義為函數(shù)
$$f:\mathbb{N}\to X$$
其中$f(n)$被記為$x_n$。

注意到，我們使用$(x_n)$來(lái)表示序列，而不是用$\{x_n\}$，因?yàn)?span id="ze8trgl8bvbq" class="katex--inline">$(x_n)$表示函數(shù)而$\{x_n\}$表示集合。當(dāng)$X=\mathbb{R}$時(shí)，序列$(1)$表示的是常數(shù)函數(shù)$f:\mathbb{N}\to X,n?1$，而集合$\{1\}$表示的是元素為$1$的集合。

因此，想要推廣序列的概念，直接的想法是改變$f$的定義域。比如，令$f$的定義域?yàn)?span id="ze8trgl8bvbq" class="katex--inline">$\mathbb{R}$，那么表示的就是一個(gè)以實(shí)數(shù)為指標(biāo)的序列，$x_{\pi },x_e$等就都有了意義。然而，定義域不能任意改變，我們需要將定義域變?yōu)槟骋环N集合——指向集（directed set）。

定義2(指向集). 設(shè)$X$是一個(gè)集合，$X$上有一個(gè)二元關(guān)系$\le$，滿足如下條件

• 自反性，即對(duì)任何$x\in X$，有$x\le x$。
• 傳遞性，即如果$x\le y$且$y\le z$，則$x\le z$。
• 指向性，即對(duì)于任何$x,y\in X$，存在$z\in X$使得$x\le z$且$y\le z$。

注意到，指向集和偏序集的差別是，偏序集的反對(duì)稱性換成了指向性，就變成了指向集。

例子1. 設(shè)$X={\mathbb{R}}^2$，在$X$上定義二元關(guān)系$\le$，對(duì)$x,y\in {\mathbb{R}}^2$，稱$x\le y$，如果$|x|\ge |y|$。驗(yàn)證：

• $({\mathbb{R}}^2,\le )$滿足自反性和傳遞性。
• $({\mathbb{R}}^2,\le )$滿足指向性，但不滿足反對(duì)稱性。

這說(shuō)明$({\mathbb{R}}^2,\le )$是指向$0$的指向集，但不是偏序集。

例子2. 設(shè)$\mathcal{P}$表示從$\mathbb{N}$的子集到$\mathbb{N}$的函數(shù)，即$f\in \mathcal{P}$當(dāng)且僅當(dāng)$$f:S_f\to \mathbb{N}$$
其中$S$是$\mathbb{N}$的子集。

• 定義$\mathcal{P}$上的二元關(guān)系$f\le g$，當(dāng)且僅當(dāng)$f=g$，則$(\mathcal{P},\le )$是偏序集，但不是指向集。
• 定義$\mathcal{P}$上的二元關(guān)系$f\le g$，當(dāng)且僅當(dāng)$S_f?S_g$且$g{|}_{S_f}=f$。則$(\mathcal{P},\le )$是偏序集，但不是指向集。

有了指向集的概念，我們就可以定義網(wǎng)了

定義3(網(wǎng)). 設(shè)$X$是集合，$X$中的一個(gè)網(wǎng)$(x_{\alpha })$，是一個(gè)函數(shù)
$$f:I\to X$$
其中$I$是一個(gè)指向集。設(shè)$\alpha \in I$，$f(\alpha ）$通常記為$x_{\alpha }$。

3. 濾子

濾子的定義更加抽象，但濾子在證明過(guò)程中卻更加方便，這不得不說(shuō)是一種取舍。

定義4(濾子). 設(shè)$X$是集合，稱$\mathcal{F}?2^X$是濾子，如果

• 如果$F_1,F_2\in \mathcal{F}$，則$F_1\cap F_2\in \mathcal{F}$.
• 如果$F\in \mathcal{F}$且$F?G$，則$G\in \mathcal{F}$.

特別地，如果濾子$\mathcal{F}$中存在兩個(gè)集合不交，則$\mathcal{F}=2^X$是平凡濾子。

例子3. 設(shè)$X$是拓?fù)淇臻g，$x\in X$，則$x$的所有鄰域構(gòu)成一個(gè)濾子。

為了說(shuō)明網(wǎng)和濾子的等價(jià)性，根據(jù)我們的例子1和例子3，直觀上，我們應(yīng)該考慮由一個(gè)網(wǎng)最終落到的那些集合形成的濾子，這就架起了從網(wǎng)到濾子的橋梁。

定義5. 設(shè)$X$是集合，$(x_{\alpha })$是一個(gè)網(wǎng)，$A?X$是子集，稱網(wǎng)$(x_{\alpha })$最終落到$A$中，如果存在$\alpha$使得任何$\beta \ge \alpha$，都有$x_{\beta }\in A$。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的拓扑空间中的收敛性的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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