微分幾何基礎

微分集合是用微分的方法來研究曲線的局部性質，如曲線的彎曲程度等。
一條可以用參數表示的三維曲線是一個有界點集，可以寫成一個帶參數的、連續的、單值的數學函數：
$$\begin{array}{rl}& ?\begin{array}{l}x=x(t)\\ y=y(t)\\ z=z(t)\end{array}0?t?1\\ & p=p(t)t\in [0,1]\\ & p^{\prime }(t)=\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t}\\ & p^{\prime \prime }(t)=\frac{{\mathrm{d}}^{2}p}{\mathrm{d}{t}^2}\end{array}$$

位置矢量

貝塞爾曲線

一階貝塞爾曲線$P_0^1$由兩個控制點$P_0$和$P_1$完全定義，相當于線性插值。隨著$t$從0到1變化，貝塞爾點從$P_0$移動到$P_1$.
$$P_0^1=\left(1?t\right)P_0+t{P}_1,t\in [0,1]$$

二階貝塞爾曲線由一階貝塞爾曲線遞歸定義。三個控制點$P_0$、$P_1$、$P_2$，二階貝塞爾曲線的產生完全由這三個點的位置決定。
三個控制點每兩個相鄰的控制點產生一個一階貝塞爾點，兩個一階貝塞爾點，于是得到兩個點；
兩個點形成一個線段，這個線段上有一個點在運動，于是得到一個點；
$$\begin{array}{rl}{P}_1^1& =\left(1?t\right)P_1+t{P}_2\\ P_0^2& =\left(1?t\right)P_0^1+t{P}_1^1\\ & =\left(1?t\right)\left[\left(1?t\right)P_0+t{P}_1\right]+t\left[\left(1?t\right)P_1+t{P}_2\right]\\ & =P_0{\left(1?t\right)}^2+2P_{1}t\left(1?t\right)+P_2{t}^2\end{array}$$
三階貝塞爾曲線：
$$P_0^3=P_0{\left(1?t\right)}^3+3P_{1}t\left(1?t\right)+3P_{2}t\left(1?t\right)+P_2{t}^3$$

通用遞歸定義公式：

$$P_i^k=\{\begin{array}{ll}{P}_i& k=0\\ \left(1?t\right)P_i^{k?1}+t{P}_{i+1}^{k?1}& k?1\end{array}$$
總結規律可得n階貝塞爾曲線的公式為：
$$P_i^n=\sum _{j=0}^n{C}_n^j{\left(1?t\right)}^{n?j}{t}^j{P}_{i+j}t\in [0,1]$$
使用數學歸納法證明：

假設$n?k$時如下等式成立
$$P_i^k=\sum _{j=0}^k{C}_k^j{\left(1?t\right)}^{k?j}{t}^j{P}_{i+j}$$
當$n=k+1$時，
$$\begin{array}{rl}{P}_i^{k+1}& =\left(1?t\right)P_i^k+t{P}_{i+1}^k.\\ & =\left(1?t\right)\sum _{j=0}^k{C}_k^j{\left(1?t\right)}^{k?j}{t}^j{P}_{i+j}+t\sum _{j=0}^k{C}_k^j{\left(1?t\right)}^{k?j}{t}^j{P}_{i+j+1}\\ & =\sum _{j=0}^k{C}_k^j{\left(1?t\right)}^{k?j+1}{t}^j{P}_{i+j}+\sum _{j=1}^{k+1}{C}_k^{j?1}{\left(1?t\right)}^{k?j+1}{t}^j{P}_{i+j}\\ & ={\left(1?t\right)}^{k+1}+\left[\sum _{j=1}^k\left(C_k^j+C_k^{j?1}\right){\left(1?t\right)}^{k?j+1}{t}^j{P}_{i+j}\right]+C_k^k{t}^{k+1}\end{array}$$
因為
$$\begin{array}{rl}{C}_{k+1}^j& =\frac{\left(k+1\right)!}{\left(k+1?j\right)!j!}\\ C_k^j& =\frac{k!}{\left(k?j\right)!j!}\\ C_k^{j?1}& =\frac{k!}{\left(k?j+1\right)!\left(j?1\right)!}\\ C_k^j+C_k^{j?1}& =\frac{k!}{\left(k?j\right)!\left(j?1\right)!}\left(\frac{1}{j}+\frac{1}{k?j+1}\right)\\ & =\frac{k!?\left(k+1\right)}{\left[\left(k?j\right)!?\left(k?j+1\right)\right]?\left[\left(j?1\right)!?j\right]}\\ & =\frac{\left(k+1\right)!}{\left(k+1?j\right)!j!}=C_{k+1}^j\end{array}$$
所以
$$P_i^{k+1}=\sum _{j=0}^{k+1}{C}_{k+1}^j{\left(1?t\right)}^{k?j+1}{t}^j{P}_{i+j}$$

貝塞爾曲線的性質：

各項系數之和為1
$$\sum _{j=0}^n{C}_n^j{\left(1?t\right)}^{n?j}{t}^j=(1?t+t{)}^n=1$$

凸包性
由性質1可知貝塞爾曲線是控制點的凸組合，所以貝塞爾曲線始終包含在所有控制點組成的最小凸多邊形中。也就是可以通過控制點的凸包來限制規劃曲線的范圍，這在路徑規劃中是很好的一條性質。

端點性質
第一個控制點和最后一個控制點，恰好是曲線的起始點和終止點。可以將$t=1$或$0$代入，除了起始點和終止點的其他控制點的系數都是0。

一階導數性質：貝塞爾曲線在$t=0$時的導數與$P_i{P}_{i+1}$方向相同，在$t=1$時的導數與$P_{i+n?1}{P}_{i+n}$方向相同
$$\begin{array}{rl}\frac{\mathrm{d}{P}_i^n}{\mathrm{d}t}& =\frac{\mathrm{d}{\left(1?t\right)}^n}{\mathrm{d}t}{P}_i+\sum _{j=1}^{n?1}{C}_n^j{P}_{i+j}\left[{\left(1?t\right)}^{n?j}\frac{\mathrm{d}{t}^j}{\mathrm{d}t}+\frac{\mathrm{d}{\left(1?t\right)}^{n?j}}{\mathrm{d}t}{t}^j\right]+\frac{\mathrm{d}{t}^n}{\mathrm{d}t}{P}_n\\ & =?n{\left(1?t\right)}^{n?1}{P}_i+n{t}^{n?1}{P}_{i+n}+\sum _{j=1}^{n?1}{C}_n^j{P}_{i+j}\left[j{\left(1?t\right)}^{n?j}{t}^{j?1}?\left(n?j\right){\left(1?t\right)}^{n?j?1}{t}^j\right]\end{array}$$
$$\begin{array}{rl}\frac{\mathrm{d}{P}_i^n}{\mathrm{d}t}{|}_{t=0}& =?n{P}_i+C_n^1{P}_{i+1}=n\left(P_{i+1}?P_i\right)\\ \frac{d{P}_i^n}{dt}{|}_{t=1}& =n{P}_{i+n}?C_n^{n?1}{P}_{i+n?1}=n\left(P_{i+n}?P_{i+n?1}\right)\end{array}$$

分段貝塞爾曲線

雖然貝塞爾曲線的階數可以很高，但是如果曲線的階數過高，調整控制點對曲線的影響就比較小，調整起來相當麻煩。
于是，我們常常使用分段的貝塞爾曲線，保證每一小段不會太復雜。這樣每次只用調小段，還可以做到只調局部不影響大局，那就相當舒服了。

分段帶來的唯一問題是，曲線在段與段的交界處，如何保證平滑？

所謂平滑，其實就是一階導數連續，也就是左右導數的極限相同。

對兩側的貝塞爾曲線求導，分別代入 t=0 和 t=1 （即貝塞爾曲線的開始和結束時間），讓二者相等。此時能發現，當兩側控制點與分段交接點共線且形成的線段長度相等時，滿足曲線平滑性質。

參考資料

B樣條曲線

樣條曲線

設$[a,b]$為$\mathbb{R}$上的區間
樣條是通過一組指定點集而生成平滑曲線的柔性帶。 簡單地說，B 樣條曲線就是通過控制點局部控制形狀的曲線。
貝塞爾曲線有以下缺陷：

確定了多邊形的頂點數(n+1個)，也就決定了所定義的Bezier曲線的階次(n次)，這樣很不靈活。

當頂點數(n+1)較大時，曲線的次數較高，曲線的導數次數也會較高，因此曲線會出現較多的峰谷值。

貝塞爾曲線無法局部修改。

B樣條曲線除了保持Bezier曲線所具有的優點外，還彌補了上述所有的缺陷。
樣條曲線的次數是指在指定區間上是幾次多項式，階數是指樣條曲線有幾階連續導數。k階B樣條=關于u的k-1次曲線
設有P,P,P,…,P一共n+1個控制點，這些控制點用于定義樣條曲線的走向、界限范圍，則k階B樣條曲線的定義為:

$$P(u)=\left[\begin{array}{cccc}{P}_0& P_1& ?& P_n\end{array}\right]?\begin{array}{c}{B}_{0,k}(u)\\ B_{1,k}(u)\\ ?\\ B_{n,k}(u)\end{array}?=\sum _{i=0}^n{P}_i{B}_{i,k}(u)$$
式中，$B_{i,k}(u)$是第i個k階B樣條基函數，與控制點$P_i$相對應，u是自變量。
基函數有如下德布爾-考克斯遞推式：
$$B_{i.k}(u)=?\begin{array}{ll}\{\begin{array}{ll}1,& u_i?u<u_{i+1}\\ 0,& \mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{r}\end{array}& k=1\\ \frac{u?u_i}{u_{i+k?1}?u_i}{B}_{i,k?1}(u)+\frac{u_{i+k}?u}{u_{i+k}?u_{i+1}}{B}_{i+1,k?1}(u)& k?2\end{array}$$
約定$0/0=0$，式中$u_i$是一組被稱為節點矢量的非遞減序列的連續變化值，首末值一般定義為0和1，該序列如下：
$$\left[u_0,u_1,?,u_k,u_{k+1},?,u_n,u_{n+1},?,u_{n+k}\right]$$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的Bezier曲线与B-Spline曲线的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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