“在這個(gè)小測(cè)驗(yàn)里，我讓你們求一個(gè)2*3矩陣的行列式。讓我感到非常可笑的是，你們當(dāng)中竟然有人嘗試去做。“（摘自http://mathprofessorquotes.com，作者佚名）

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一、空間變換

矩陣的乘法的幾何意義就是空間變換。

代表 經(jīng)過M的變換后變成了 。考慮原空間中的所有向量所構(gòu)成的空間 ，那么 ，也就是空間 經(jīng)過 的變換變?yōu)榱丝臻g 。描述這種變換的一種淺顯易懂的方式就是用“網(wǎng)格”的變換。

如下圖，矩陣

將列向量 變?yōu)? 。同時(shí)，圖片顯示了矩陣是如何變換空間的。

觀察矩陣如何變換空間的一種簡(jiǎn)單的方法是看，變換矩陣

將 映射為什么。（這里默認(rèn)原空間基向量為標(biāo)準(zhǔn)正交基）。例如上圖中變換矩陣 將 映射為 ，因此若在，原坐標(biāo)系下坐標(biāo)為 ,即，因此映射為 。計(jì)算的時(shí)候表示為：

因此從上式也可看出，矩陣乘法就是空間變換，是一種映射。

• 行列式

行列式

給出了由 表示的映射引起的縮放因子和方向。數(shù)值代表縮放因子，正負(fù)號(hào)代表變換的方向。當(dāng)行列式等于1時(shí)，由 定義的線性變換是等值的和保持方向的。

如下圖：在二維空間中，行列式代表面積，行列式的值越大，代表變換對(duì)面積造成的影響越大。行列式若為負(fù)值代表空間發(fā)生了翻轉(zhuǎn)。

如果一個(gè)n階方陣的行列式為0，也就證明這個(gè)行列式不滿秩。也就是說組成行列式的列向量是線性相關(guān)的，那么這n個(gè)列向量張成的空間便是n維空間的一個(gè)投影，維度等于秩。

,變換 使得空間的維度被壓縮了，例如2維空間被壓縮為1維空間，如下圖。

• 非方陣

非方陣沒有行列式。按照空間變化，非方陣一定使得空間的維度發(fā)生了變化，無法衡量變換的大小，因此沒有行列式。

例如一個(gè)3*2的矩陣可以將一個(gè)二維平面的向量映射為三維空間中的一個(gè)平面上的向量。而一個(gè)2*3的矩陣可以將一個(gè)三維空間的向量映射為二維平面上的一個(gè)向量，考慮整個(gè)三維空間就是將原空間做了一個(gè)投影。

• 矩陣的逆

矩陣不一定存在逆。可以求逆的矩陣叫做可逆矩陣，也叫非奇異矩陣。矩陣為非奇異矩陣的充要條件是矩陣存在行列式且不為0。

可以這樣理解：矩陣的作用是空間變換，其實(shí)就類似于一個(gè)函數(shù)。（這里說映射更標(biāo)準(zhǔn)些）矩陣求逆就類似于求反函數(shù)。當(dāng)矩陣為不存在行列式或者行列式為0時(shí)，代表變換發(fā)生了降維，其映射關(guān)系不是一對(duì)一的關(guān)系，是多對(duì)一的關(guān)系，因此無法求逆或沒有意義。例如上面那張圖所代表的變換把空間變?yōu)橐粭l直線，但是從直線生成一個(gè)平面卻有無數(shù)種方法。

所代表的變換恰好是 變換的逆過程。下圖很好的說明了這一點(diǎn)。

求解

的幾何意義，就是找到一個(gè)向量x使得在A的變換下，x被映射為b。如果A為滿秩矩陣，則有唯一解 ，也就是對(duì)b施加逆變換即可找到x。

二、基變換

首先要有一個(gè)概念，我們用坐標(biāo)來描述向量，那么首先要選取坐標(biāo)系（類似于做物理題先選取參考系），而坐標(biāo)系就是基向量的體現(xiàn)。因此我們對(duì)于向量、變換的描述都要說清楚是在什么基向量下進(jìn)行的，同一個(gè)向量或者變換在不同的基向量下坐標(biāo)不一定相同。

• 不同基下的向量變換

如下圖，從原點(diǎn)出發(fā)到黑點(diǎn)的向量可以用紅色和綠色的基向量表示。在綠色基向量表示下，此向量為

；在紅色基向量表示下，此向量為 。

這兩個(gè)坐標(biāo)如何轉(zhuǎn)換呢？綠色的基向量為

,紅色的基向量為 。

若選擇

為基向量，則 ，那么在紅色基向量下的坐標(biāo)可以如下轉(zhuǎn)化為在綠色基向量表達(dá)下的坐標(biāo)。

。（

若選擇

為基向量，則 ，那么在綠色基向量下的坐標(biāo)可以如下轉(zhuǎn)化為在紅色基向量表達(dá)下的坐標(biāo)。

。（

其實(shí) P,Q互逆，即

。

• 不同基下的空間變換

同一個(gè)變換在不同的基下也是不同的，例如有一個(gè)變換是逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°。即將上圖空間變?yōu)橄聢D：

很容易看出在標(biāo)準(zhǔn)正交基下（綠色），此變換矩陣

。

那在紅色基向量下相同的旋轉(zhuǎn)變換

如何表示呢？

我們可以這樣想，對(duì)于紅色基向量表示的一個(gè)向量

，我們先將其轉(zhuǎn)換為用標(biāo)準(zhǔn)正交基表示（ ），然后在用 進(jìn)行變換，然后再將其用紅色向量表示（ ），就能得到和直接用 對(duì) 變換一樣的效果。即

這說明了什么呢？對(duì)形如

的式子，它表示在不同基向量下同一個(gè)變換如何相互轉(zhuǎn)化。

有不清楚的，極力推薦大家去看這個(gè)視頻：

https://www.bilibili.com/video/av6731067/?p=13?www.bilibili.com

三、總結(jié)

• 聯(lián)系

如基變換中所說，上式可以看作是

變換到另一組基

在另一組基下施行空間變換

變換到原來的基

但是不可忘記最開始時(shí)候強(qiáng)調(diào)的矩陣乘法代表空間變換，因此拋開基變換也可以這樣考慮：上式代表了一種變換分解的思想：將變換

分解為連續(xù)三個(gè)變換 。

從這兩種角度理解，將有助于理解特征值分解和奇異值分解。

• 與特征值分解的關(guān)系

若選擇的基P恰好是A的特征向量，且能構(gòu)成A的一組基，那么M就是對(duì)角矩陣，上式就是特征值分解。

那特征值和奇異值具體是什么呢？兩者之間又有什么關(guān)系呢？請(qǐng)看我的下一篇文章：

阿姆斯特朗：矩陣分析(二)：從特征值到奇異值?zhuanlan.zhihu.com

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參考：

[1]https://www.bilibili.com/video/av6731067

[2]https://en.wikipedia.org/wiki/Determinant

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的ker矩阵是什么意思_矩阵分析(一)：空间变换与基变换的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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