李群、流形、李代數(shù)

• 一、關(guān)系
• 二、manifold
• • 2.1 local
  • 2.2 retract
  • 2.3 流行空間上的導(dǎo)數(shù)
• 三、Group
• • 3.1 操作
• 四、Lie Group
• • 4.1 Lie Group的Retract和Local操作
  • • 4.1.1 manifold的Retract和Local
  • 4.2 繼承的group的compose、identity、inverse、between操作
  • • 4.2.1 compose
    • 4.2.2 identity
    • 4.2.3 inverse
    • 4.2.4 between
  • 4.3 Logmap
  • 4.4 Expmap
• 五、典型的李群

參考;
為什么引入李群流形 李代數(shù) 求導(dǎo) 微分 四元數(shù)
機(jī)器人學(xué)——李群、李代數(shù)快速入門

一、關(guān)系

二、manifold

偏向幾何拓?fù)?br /> 流形空間：光滑的凸表面

一個普通的vector space空間的求導(dǎo)
$$\underset{\delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x+\delta x)?f(x)}{\delta x}$$

但在manifold空間，常常
$x$–>線性空間(切空間)
$f(x)$–>manifold空間

2.1 local

$function(y_1,y_2)?>\Delta x$
為什么引入李群流形 李代數(shù) 求導(dǎo) 微分 四元數(shù)
local操作就包含了減法的概念：減去y1然后變換到切空間。
（算出在局部坐標(biāo)系的相對距離）

2.2 retract

$function(y_1,\Delta x)?>y_2$

2.3 流行空間上的導(dǎo)數(shù)

$$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{Local(y_1,Retract(y_1,\Delta x))}{\Delta x}$$

三、Group

封閉
幺元
逆元
結(jié)合性

3.1 操作

compose運算操作
identity幺元
inverse逆元
Between（g,h）距離操作（抽象減法）—>g.inverse()*h

四、Lie Group

繼承了manifold和group的接口

切點->切空間->局部坐標(biāo)系

中間層:李代數(shù)空間
必須注意的是，李代數(shù)是$R^n的向量$

4.1 Lie Group的Retract和Local操作

4.1.1 manifold的Retract和Local

$Retract(g,v)$
$g$ is manifold space
$h$ is manifold space
$v$ is vector space(切空間)
注意：*是compose操作
$Retract$ 是已知 $y_1和\Delta x求y_2$
$Local$ 是已知 $y_1和y_2求\Delta x$
$y_1,y_2$—>manifold space
$\Delta x$—>切空間
所以
$$Retract(g,v)=g?exp(v^{\wedge })=h$$

$$Local(g,h)=[log(Between(g,h)){]}^{\vee }=v$$

4.2 繼承的group的compose、identity、inverse、between操作

4.2.1 compose

廣義上的*
$$compose(g,h)=g?h$$

4.2.2 identity

$$identity(g)=I$$

4.2.3 inverse

$$inverse(g)=g^{?1},because{g}^{?1}?g=g?g^{?1}=I$$

4.2.4 between

$$between(g,h)=g.inverse?h$$

4.3 Logmap

TangentVector Logmap(LieGroup g) { }

$$\begin{gathered} TangentVectorLogmap(LieGroupg) \\ return[log(g){]}^{\vee } \end{gathered}$$

4.4 Expmap

LieGroup Expmap(TangentVector v) { }

$$\begin{gathered} LieGroupExpmap(TangentVectorv) \\ returnexp(v^{\wedge }) \end{gathered}$$

五、典型的李群

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的李群、流形、李代数的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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