目錄

映射（點到點）

拉回映射

推前映射

協變矢量和逆變矢量

切空間

切空間的矢量是協變矢量

余切空間

余切空間的矢量是逆變矢量

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映射（點到點）

設與是兩個流形，映射是光滑映射，它將上的點映射到上。

拉回映射

設在流形上有一函數;

在流形上有一點，映射將它映射到流形上的點，函數在點處的值為，在流形上定義一個函數，使其在點處的值等于，由于這個過程類似把函數從流形拉回到流形上，所以定義拉回映射為：

或簡寫為

即流形上的函數在點的值等于流形上的函數在點的值，叫做的拉回。

推前映射

類似于拉回映射，可以定義推前映射：

用于定義推前映射和拉回映射的函數，實際上確定了兩個流形上的等價關系，或者說函數的值在映射下是不變量。

協變矢量和逆變矢量

設流形上點在它的坐標卡下為，流形上點在它的坐標卡下為,流形上有一函數，把它推前映射到流形是，那么有：

此式對求偏導得到：

若一個矢量在從點處到點處的變換規律與矢量的變換規律相同，則稱為協變矢量，反之稱為逆變矢量。

切空間

設有一個定義在流形上的函數；

在歐氏空間中，若在某點處給定一個矢量，就可以求出函數在此點的方向導數，仿照這一點，定義流形上一點處的切矢量（坐標卡為）:

當它作用在函數上：

就得到了“方向導數”，加引號是因為此處的矢量并不一定是單位矢量，因此不僅僅代表某個方向，和原來方向導數的定義并不完全相同。

在流形上某點處以為基，得到一個線性空間，稱為此點處的切空間。

切空間的矢量是協變矢量

設確定了兩個流形間的等價關系的函數的集合為，那么可以將切空間的中的矢量視為函數，將的推前記為，由于

而且，所以

根據定義，切矢量的基是協變矢量，而切矢量是它的基的線性組合，因此切矢量是協變矢量。

也即，其中和是矢量的分量。

余切空間

余切空間是切空間的對偶空間，設它的基為，那么有

余切空間的矢量是逆變矢量

因為

又

相減得

，因為是任意的，所以有

可以看到，余切空間中的基和切空間中的基的變換規律相反，因此余切矢量是逆變矢量。

因為,而且是不變量，所以與對偶，所以余切空間的基就是。

總結

流形間映射過程中有不變量，利用不變量在兩個流形上的偏導數的變換規律定義了切空間與余切空間，因此切空間與余切空間的本質來源就是兩個流形之間的不變量。

切空間的矢量是協變矢量，變換規律與不變量對坐標的偏導相同；余切空間的矢量是逆變矢量，變換規律與不變量對坐標的偏導相反。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的流形间的映射（拉回映射与推前映射）及根据其定义的协变矢量和逆变矢量；切空间与余切空间的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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