?? 由于種種原因要惡補一下微分流形和黎曼幾何，吸取一下“前輩”們的經驗，也希望大家能提供一些更好的經驗！

?

1? 自幾何佳緣

在這方面我是很有感受的。我整理了一些心得筆記，打算以后給學生上課的時候，把這些內功心法傳授給他們。?

這里先隨便講兩句。?如果樓主想聊聊的話，可以寫信到我的百度郵箱。?

以前研究生時候，我學過微分幾何，用的是陳維桓那本。?但是學了之后還是不得要領。因為我們的老師只是照著書念，根本沒有講出精髓來。直到后來，我重學的時候，才恍然大悟，接下來可以說是一通百通。?

到底是怎么回事呢？且待我慢慢道來。??

(I)?首先我這次選的書非常好--可以說是機緣巧合。?我用的書是侯伯宇《物理學家用的微分幾何》。??
這本書有幾個特點：它講述概念非常直觀簡潔，而且會告訴你這些概念的物理北景；?對重要的定理結論，它不給證明，但是會詳細解釋它的幾何意義和物理意義。初學者看此書是非常省力的。?

忠告：如果你初學微分幾何，千萬不要看陳省身和陳維桓的《微分幾何講義》，這本書已經是高度提煉了。你沒有好的幾何背景根本不能消化--比如聯絡那一章就是。?


(II)其次，?侯的《物》里說了一段話，使我頓悟微幾的關鍵所在。?他告訴我們，微分幾何的概念結論等等都是在一個原則下展開的：?所討論的東西都要與坐標選取無關。書中引用愛因斯坦一段話，說愛氏花了7年之功才建立廣義相對論，其原因就在于他一直努力擺脫坐標系的困擾。?

忠告：?不管你學到哪個概念，你一定要牢牢記住這個原則。?舉例來說，為什么定義切空間和與切空間要這么大費周章從等價類入手？就是因為它要讓定義出來的東西和坐標無關。?明白這個原則，基本上就越過了學微幾的第一道坎。后面可說是事半功倍。?


(III)?學微幾的另一個重要原則就是：?內蘊的思想。?你碰到的所有概念和結論都是內蘊的。就是說他們只和這個流形有關，和流形所在的大空間無關。?這和本科的《曲面微分幾何》不同，那里定義的東西常常是在3維空間里看的。??

忠告：?牢記這個原則！?在你學了公理化定義的聯絡以及黎曼度量以后，再回過頭來看，就會明白為什么人家煞費苦心來做這些事。?


(IV)理解切空間和與切空間，以及他們的張量，是微分幾何入門的關鍵！?
記住上面講的原則，你再去看一遍體會體會就會領悟的。?這里不再多講。??

我只想說說張量。?如果看陳省身和陳維桓的《微分幾何講義》，那你對張量的理解永遠只是表面，你最多只知道他的代數定義。?為什么我們要在微幾里討論張量呢？?你要是不知道很多背景，就不能體會其用意。?

比如黎曼度量，?他就是一個二階張量。首先你要明白二階張量不過就是矩陣！?一般的張量不過是矩陣的推廣！你回憶一下，向量可以看作一個1維數組，矩陣可以看作2維表格，那么3維表格不就是3階張量嗎？?

所以無非是要造一個在流形上處處有定義的矩陣，并且這個矩陣和坐標無關。怎么才叫和坐標無關呢？?這就引出了我們說的協變規律反變規律等等。??

然后你在回憶一下，我們在曲面微分幾何里怎么定義度量，那時候曲面的度量就是3維空間度量限制在它上面，這不是內蘊的方式。?
所以人們要繞個彎子，從張量上來重新定義度量，因為張量是內蘊概念，只和這個流形有關。?

上面的說明就是要你看到，我說的這兩個原則是怎么始終貫穿在學習理解中的。?

(V)?學習聯絡又是一個很難過的坎。?你要是直接看那種公理化的定義，最多只能像大多數人一樣，只會背誦“法律條文”。?這個時候，你要先去看那種不是內蘊的定義方式。?然后你才會真正明白聯絡的幾何意義，知道人家為什么這么做。?公理化定義只是為了滿足我剛才說的兩個原則。?

你可以參看《黎曼幾何講義》作者記不大清了，好像有一個姓白。?封面是藍色的，版本較舊。?這本書寫的聯絡一章非常好。?



(VI)過了這幾關，基本上可以輕松讀完陳維桓的那本書。?微分幾何真正困難的東西，初學者是學不到的。初學者的困難就在于沒有真正把握住我說的那兩條原則。?

上面說的都是我的經驗之談，我就是這么學過來的。

?

黎曼幾何的切入口(http://physt.org/bbs/viewthread.php?tid=95)

一般從直觀的角度來說，要研究線的彎曲起碼要在二維空間才能進行。（如果是非平面曲線還得在三維空間里）同樣面的彎曲只能在三維空間里才能直觀地研究。即便如此，三維空間的彎曲還是直觀不起來了。因為四維以上的空間無法用圖表示。當然用相應的類比還是可以進行研究的。
要研究N維空間的彎曲是否至少要在N＋1維空間里才能進行呢?
極而言之，現在假設有一個最高是N維的空間，如果比N維的維數少的空間的彎曲情況還可以在N維空間里研究的話，那么N維空間的彎曲，由于沒有更高維的空間，如何研究呢？
在N維空間里研究N維空間自身的彎曲看來只能是另辟蹊徑了。
如果不借助更高維空間，僅通過空間自身的“努力”來研究彎曲的話，那你相對于黎曼幾何的殿堂已經可以說是登堂入室了。
此話怎講。
眾所周知，在歐幾里德空間里，一個矢量作平行移動“兜”一個圈回到原處，這個矢量的大小和方向都不會發生變化。這因為歐幾里德空間是平直空間。
那么在一個彎曲的空間里對矢量這樣作是否會發生某種變化呢？回答是肯定的！不僅如此，還可以根據其大小和方向變化的多少來判斷空間彎曲的程度和特性。換句話說，我們只要將某個矢量在N維空間里“兜”個圈，研究矢量的變化就可知曉此N維空間的彎曲的情況啦。看！研究N維空間的彎曲不必借助N+1維空間。
關于矢量大小和方向的變化先分開來討論比較方便。
關于矢量方向的變化至少和一個叫“仿射聯絡”的量有關。如該空間是平直的，那么“仿射聯絡”量必為零。如果該空間的“仿射聯絡”不為零，則該空間就是彎曲的。不過，大家可要當心！“仿射聯絡”為零，該空間可不一定是平直的。因為“仿射聯絡”量不是一個張量。一個“仿射聯絡”不為零的空間可以通過坐標變換使它在空間的某個“局部”為零。
關于矢量大小的變化則和一個叫度規張量的量有關。一般來說，在彎曲空間里矢量在平移時起碼大小是變化的。這個度規張量可以反映空間的種種特性。當這個量與坐標和時間有關時，那么該空間不僅是彎曲的而且是“蠕動”的。
“仿射聯絡”與度規張量似乎都能反映空間的彎曲，那么它們之間有什么關系呢？研究表明，度規張量可以完全確定“仿射聯絡”。但是“仿射聯絡”則不一定完全確定度規張量。為此，我們把度規張量看成是最基本的，并假設“仿射聯絡”總可以由度規張量計算出來。
在研究矢量平移的變化過程中發現這種變化還和平移的路徑有關，由于路徑的不同又會引起額外的變化。（事情變得更為復雜了）這個額外的變化與一個叫曲率張量的量有關。曲率張量是唯一可以由度規張量的二階導數的線性組合而構成的張量。此外如果該空間過分“七翹八扭”則還得考慮“撓率張量”等等。
關于曲率張量按理應該大書特書一番。由于牽涉面過于復雜，只能點到為止。通過對牛頓引力方程的合理推廣、廣義相對論及對曲率張量的特定組合，愛因斯坦得出了一個有名的“上帝的方程式”——愛因斯坦方程！
黎曼幾何竟和廣義相對論掛上了鉤。
愛因斯坦方程就是引力場方程。于是一切就順理成章了，愛因斯坦方程決定度規張量（物質決定度規張量）——度規張量決定曲率張量——曲率張量決定空間彎曲——度規張量決定仿射聯絡——仿射聯絡決定物質運動——……
順便提一下仿射聯絡的“局部”為零的參考系相當于引力場中自由降落的升降機。撓率張量的物理效應并不顯著，在這方面已經有人做過點“文章”了，看來意義不大。? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?
無論“維相”還是“反相”要想繞過黎曼幾何幾乎是不可能的。

?

下面的文字轉自：漫談微分幾何---王善欽(精彩絕倫的文章)

http://www.sciencenet.cn/m/user_content.aspx?id=374832

??????? 微分幾何與伴隨著微分幾何的發展而創立的張量分析是掌握廣義相對論的基礎工具。也由于廣義相對論的成功，使一向冷僻的微分幾何成為數學的中心學科之一。
從微積分發明起，微分幾何的萌芽就誕生了。但是Euler、Clairaut和Monge的工作才真正使微分幾何成為獨立學科。Euler在關于測地學的工作中逐步得出重要得研究，并對法曲率的計算得出著名的Euler公式。Clairaut研究了曲線的曲率和撓率，Monge發表了《分析應用于幾何的活頁論文》，將曲線與曲面的重要性質用微分方程表示，使得經典微分幾何的發展到達一個高峰期。Gauss在測地學的研究中，經過繁雜的計算，于 1827年發現了曲面的兩個主曲率乘積與它在外圍的Euclidean空間中的形狀無關，僅僅取決于其第一基本形式，這個結果被Gauss得意地稱為是絕妙定理，從而創立了內蘊幾何，把曲面的研究從外圍空間中解脫出來，將曲面自身作為一個空間來研究。1854年Riemann作了《關于幾何基礎的假設》，推廣了 Gauss在 2維曲面的內蘊幾何，從而發展出n維Riemann幾何，隨著多復變函數的發展。一批優秀數學家將微分幾何的研究對象擴展到復流形，再拓展到包含奇點的復解析空間理論。微分幾何的每一步前進所面臨的都不僅僅是知識的深化，更意味著知識領域的不斷拓展。在這里，微分幾何與多復變函數論、Lie群理論、代數幾何以及PDE都彼此產生深刻的互相影響。數學在不斷的分化，又不斷交融。
多復變函數論與微分幾何的結合閃耀著迷人的光輝，單位圓和上半平面（兩者可以建立共形映射）上定義Poincare度規后，單復變函數論與微分幾何的聯系就歷歷可見。Poincare度規是共形不變量。著名的 Schwarz定理在引入Poincare度規后就可以解釋為：單位圓上Poincare度規在解析映射下不增加，當且僅當此映射是分式線性變換時 Poincare度規不變。應用Poincare度規下的雙曲幾何可以輕松證明著名的Picard小定理。而Picard大定理的證明需要用到艱深的模函數理論，如果用微分幾何觀點，也可以以極其簡明的方式證明。這里，微分幾何深深滲透到復變函數論之中。在多復變函數論中，分析復仿射空間的區域定義度規后，接下來就實微分幾何的曲率計算和其他一系列計算。在單復變情形，所有奇點離散分布，而在多復變情形，由于著名的Hartogs開拓現象，所有孤立奇點都被吞沒，甚至于奇點形成的連續區域也經常被吞沒，只有形成實余維數為1的流形才可以避免這個厄運。但是，即使這種情形也需要其他限制條件才可以“確保安全”。多復變函數論中奇點的這種奇特性質使得它們注定要成為流形。1922年Bergman引進著名的Bergman核函數，那個時代的多復變函數還是 Weyl所說的草創時代，除了Hartogs、Poincare、Levi和Cousin等幾位前輩的著名研究外幾乎沒有任何實質性進展，Bergman 的工作無疑給這個死氣沉沉的領域注入了一股活力。在多復變函數中的域上的Bergman度量，在一維情形就是單位圓和Poincare上半平面上的 Poincare度量，這注定了Bergman工作的重要性。
代數幾何的基本研究對象是任意維仿射空間或者射影空間中的代數方程組（定義方程組）的公共零點（代數簇）的性質，代數簇的定義方程組的系數以及代數簇的點所在的域所在的域稱為基域。不可約代數簇是其基域的有限次擴域。我們熟悉的數域上線性空間就是以數域為基域的擴域，線性空間維數就是擴張次數。從這個觀點出發，代數幾何可以看成是對有限擴域的研究。代數簇的性質和其基域關系極其密切。對于域上復仿射空間或者復射影空間中的代數簇，研究的過程中不僅有大量概念和微分幾何及多復變函數論重合，而且在研究過程中運用到大量有關的相似工具。復流形以及復解析空間的每一步進展無不同時影響著這些學科。許多相關領域的大師，雖然看上去只研究某一領域，但是其結果卻影響到其他領域。例如： Lerey研究代數拓撲得出得層論，在代數拓撲中影響不大，單卻由于Serre，Weil和H? Cartan（E?Cartan長子）的引進，深刻影響了代數幾何和多復變函數論。Chern研究Hermite空間的示性類，但同時影響了代數幾何、微分幾何和多復變函數論。Hironaka研究代數幾何中的奇點消解，但是他研究的復流形到復解析空間的修改與吹脹則影響了復解析空間理論。Yau證明了 Calabi猜想不僅影響了代數幾何和微分幾何同時影響了經典廣義相對論。同時對于我們可以看出非線性常微分方程和偏微分方程在微分幾何中的重要地位。 Cartan研究對稱Riemann空間，得出了重要的分類定理，給出了1、2、3維空間中齊性有界域的完全分類，證明它們都是齊性對稱域，同時他猜想：這種等價關系在n維情形也成立。1959年，Piatetski-Shapiro卻在研究對稱有界域的自守函數論的過程中找到了兩個反例，在4維和5維的情形中各找出一個齊性有界域，它們不是齊性對稱域，他將這些域命名為Siegel域，以紀念Siegel在1943年研究自守函數論方面的深刻工作。 Piatetski-Shapiro的這個結果深刻影響了多復變函數論和自守函數論，同時對于對稱空間理論等一系列課題產生深遠影響。正如我們知道的， Cartan將對稱空間的研究化為Lie群和Lie代數的研究，這個觀點直接受Klein的影響而又大大發展了Klein的初步想法。當年也正是 Cartan發展了Levi-Civita聯絡的概念，發展出微分幾何中的一般聯絡理論，通過流形上各點切空間的同構映射，實現了Klein的夢想，同時大大促進了微分幾何的發展。同樣是Cartan，斷定和樂群在流形研究中的重要性，幾經波折，終于在他去世后三十年左右才被證實是正確的。在這里，我們看到了微分幾何的浩瀚優美。
正如我們熟知的，測地線聯系著ODE（常微分方程），極小曲面和高維極小子流形聯系著PDE（偏微分方程）。這些方程都是非線性方程，因此對于分析學有著極高的要求。單復變函數論中著名的Cauchy-Riemann方程組聯結起PDE和復分析之間的聯系，在多復變情形，Cauchy- Riemann方程組不僅空前深化了這個聯系而且由于Cauchy-Riemann方程組的超定性（方程個數大于變量個數）導致了奇異的現象。這又使得 PDE與多復變函數論與微分幾何緊密結合。
大多數學習微分幾何的學者都被Gauss與Riemann的內蘊幾何的無比深邃擊暈，被Cartan的活動標架法的優美簡潔傾倒，被Chern的示性類理論的博大精深折服，被Yau深厚精湛的幾何分析功底震懾。當年年輕的 Chern面對整體微分幾何時說自己就像面對一座閃耀金色光芒的山無比向往卻一時無法攀到最高峰。但是后來他卻趕在Hopf和Weil之前成為這個領域的一代宗師。
如果說Cartan發展的微分幾何漸漸改變了廣義相對論的幾何模式的話，那么Chern等人的微分幾何不僅在延續Cartan的影響而且以纖維叢的形式推動了規范場論的發展。微分幾何仍然像Einstein時代那樣和物理緊緊相連并且從物理中不斷獲取研究課題
為什么三維球無法賦予平坦度規卻可以賦予共形平坦度規？因為三維球和其他維數的球一樣無法與平坦空間建立等距映射，所以無法建立平坦度規；而n維球都是單連通常曲率空間，因此可以可以建立共形平坦度規。在微分幾何中，等距的含義就是映射前后流形上對應點之間的曲線距離不變。一個流形與平坦空間等距時其 Riemann截面曲率恒為零。因為所有球面的曲率都為正的常數，所以n維球面以及其他的截面曲率非零的流形都無法賦予局部平坦度規。
但是還有局部共形平坦這個概念，對于流形上兩個度規G和g，如果G=exp{ρ}?g，則稱G與g之間的變換是共形變換。Weyl共形曲率張量在共形變換下保持不變，它是流形上的（1,3）型張量場。當Weyl共形曲率張量為零時，流形的曲率張量可以用Ricci曲率張量與數量曲率表示，所以 Penrose 總是強調曲率=Ricci+Weyl。
一個n維Riemann流形的度規張量g在局部上共形等價于平坦度規，則稱為共形平坦流形。所有截面曲率為常數的流形（常曲率流形）都是共形平坦的，所以都可以賦予共形平坦度規。而所有維數的球面（當然包括三維球）都是常曲率流形，所以必定可以賦予共形平坦度規。反過來，共形平坦流形卻未必是常曲率流形。但是有一個和Einstein流形有關的美妙結果可以彌補這個遺憾：3維以上的共形平坦 Einstein流形必定是常曲率流形。就是說要想讓共形平坦流形卻是常曲率流形，就必須要求Ric=λg，而這就是Einstein流形的定義。式中 Ric為Ricci曲率張量，g為度規張量，λ為常數。Einstein流形的數量曲率S=mλ為常數。而且如果S非零則其上面不存在非零的平行切向量場。Einstein引入宇宙學常數，使得他錯失了預言宇宙膨脹的偉大成就，于是Hubble就飛黃騰達了；但是帶有宇宙項的真空引力場方程卻產生了 Einstein流形，這為數學家的展現才智提供了新舞臺。
對于3維連通Einstein流形，即使不要求其共形平坦，它也自動是常曲率流形，其他維數不成立這個美妙性質，我是大一暑假學習張量分析時才知道這個結果的，感覺看到這個結果是一種享受。實流形中的截面曲率與Kahler流形中的全純截面曲率是不一樣的概念，因此也產生不一樣的結果。全純截面曲率為常數的Kahler流形，其Ricci曲率必定為常數，所以必定為 Einstein流形，稱為Kahler- Einstein流形。Kahler流形為Kahler- Einstein流形當且僅當其作為Riemann流形時是Einstein流形。N維復向量空間，復射影空間，復環面以及復雙曲空間都是Kahler- Einstein流形。Kahler-Einstein流形的研究成為幾何學家的智力享受。
再回頭講講等距映射的一個重要結果。考慮兩個 Riemann流形M和N間的等距映射以及其誘導的切空間之間的映射，取M上任意點p，在其切空間任選兩個不共線的切向量，求出其截面曲率。在映射下p點及其切空間上的那兩個切向量在映射下變成另兩個切向量，也求出其截面曲率。如果這個映射是等距映射，則這兩個截面曲率是相等的。或者含糊些說就是等距映射不改變截面曲率。
反過來，如果任意點都成立截面曲率不改變的性質，那么映射是不是等距映射？答案是否定的。甚至在三維Euclidean 空間的曲面上都無法成立這個性質。在局部情形，必須加上測地線的限制，應用Jacobi場的性質才能作到這一點。這就是著名得Cartan等距定理。這個定理是Jacobi場的精彩應用。它的大范圍推廣是Ambrose和Hicks作出的，稱為Cartan-Ambrose-Hicks定理。
微分幾何就是充滿無窮魅力。我們給pseudo-Riemannian空間分類，可以用Weyl共形曲率張量分類，可以用Ricci曲率張量分類，也可以用運動群進行分類得出9種Bianchi型。而這些東西都是可以歸結到微分幾何的研究，這里遙遠的Riemann觀點和稍近的Klein觀點完美結合，這里可以看出Cartan的偉大智慧，這里可以看出Einstein的深遠影響。
從Hermite對稱空間到Kahler-Hodge流形，微分幾何不僅與Lie群緊緊相連，也與代數幾何和拓撲學血脈相通
想起 1895 年偉大的Poicare寫偉大的《位置分析》創立組合拓撲時曾經毫不掩飾地說高維空間的微分幾何是意義不大的學科，對此他說了句：“家有美景，何須遠求。”（Chern譯）拓撲就是家中美景，干嗎要辛辛苦苦計算曲面甚至高維流形的曲率？可是這次這個全才數學家錯了，但我們能不能說這位數學天才對微分幾何沒有大貢獻？不能。看看今天微分幾何與拓撲學的緊密相關我們就知道了。一個閉形式何時才是恰當形式？在同倫于點的區域（單連通區域）有Poicare引理之逆告訴我們這個自動成立。在非單連通區域有著名的de Rham定理告訴我們如何成立，那就是微分形式在所有閉鏈上的積分為零。
即使在Poicare所忽視的微分幾何領域，他仍然以一種不經意的方式深深影響了這個學科，或者毋寧說是影響了整個數學。
任何一門學科創立后都尋求推廣的性質，微分幾何也是這樣。從曲率上來說，平直的Euclidean空間曲率為零，幾何學家推廣到曲率為正常數（狹義的 Riemann空間）和負常數的空間（Lobachevskii空間），我們知道，非歐幾何的偉大之處不僅在于它獨立了第五公設而且用其他情況替代而導致新幾何，更在于它的創立者能在其上進行三角分析。但是著名數學家Milnor所說，在微分幾何進入非歐幾何之前，非歐幾何只是沒手沒腳的軀干而已。只有在定義了度規以后進行曲率的統一計算之后，非歐幾何才煥發出生機。Riemann在1854年的演講中只寫下了一個公式，就是這一個公式統一了正曲率、負曲率和零曲率的幾何。后人大都認為Riemann這個公式又是憑直覺想出來的，實際上后來人們發現了他計算這個公式用的草稿紙，才知道天才也是要勤奮的。 Riemann已經探索任意維數的任意曲率流形的曲率了，但定量的計算超越了那個時代的數學工具，他只能寫出常曲率流形的統一公式。但是我們知道，即使到今天，這個結果仍然是重要的，微分幾何的名目繁多的“比較定理”都是以常曲率流形為比較模本的。
當年Riemann曾經考慮了二次微分形式的二次方根,這就是我們都熟悉的Riemann metric,由此導出Riemannnian geometry,當時他特意提及另一個情形,就是用四次微分形式的四次方根(相當于四元乘積的和開四次方).這是兩者的聯系與區別。但他卻說對于這種情況和前面一種情況在研究上并不要求實質上不同的方法。還說,這樣的研究比較費時間并且對空間無法增加新的認識,計算的結果也缺乏幾何意義。所以 Riemann只研究了現在稱為Riemann metric的情形。為什么后世的Finsler熱衷于推廣Riemann不想研究的情形?可能是數學家好推廣以致于成為癖好。Cartan當年在 Finsler幾何方面作過努力,但成效不大,Chern對這種幾何確實也寄予厚望同時也研究出一些成就.但我仍然和國際上的普遍看法一致,那就是 Finsler幾何前途黯淡. 這也正是Finsler幾何一直無法進入微分幾何主流的本質原因,它沒有真正值得幾何學家去奮斗的優美性質,也沒有什么大的應用價值.后來的K-展空間, Cartan空間也都沒有成為主流,雖然它們都是Riemannnian geometry的推廣,但是沒有得到什么大的發展.
實際上, 有時候推廣的東西能夠得到的新內容不多,微分幾何也是這樣，不是研究的對象越平凡越好，而是應當適當的特殊才好。比如Riemann流形中,齊性 Riemann流形特殊,就具有更多優美的性質,齊性Riemann流形中,對稱Riemann流形更特殊,所以性質更優美.這是從流形上Lie群的作用角度分析的。
從度規的角度分析,定向偶數維的Riemann流形上賦予復結構,形成復流形,性質就極其優美。近復流形只有在近復結構可積時才成為復流形。復流形必定可定向，因為可以很容易求出它的Jacobian必定非負，而實流形在一般情況下沒有這個性質。再縮小范圍,Kahler流形更加具有很好的性質， Kahler流形的所有復子流形都是Kahler流形，而且還是極小子流形（Wirtinger定理），這個優美的結果迷倒了多少微分幾何學家和代數幾何學家，因為其他更一般流形不成立這個優美結果。如果要求 (復)三維Kahler流形的第一Chern數為零,可以得出Calabi-Yau流形,這是理論物理學家極其有興趣的流形。Calabi-Yau流形的鏡流形同樣是代數幾何域微分幾何共同的課題。流行上的Hodge結構至盡都是有著無盡吸引力的課題。
微分幾何，一個道不盡的話題。就像代數幾何中要求雙有理等價是個奢求一樣，微分幾何中要求等距變換何嘗不艱難。分類學是整個數學的永恒課題。群論中有單群分類，多復變函數論中有區域的分類，代數幾何中有代數簇的分類，微分幾何也有分類。
艱難的課題引起一批批年輕的幾何學家和年老的學者的共同沖刺，微分幾何的前景無比光明。???

總結

以上是生活随笔為你收集整理的微分流形与黎曼几何学习笔记(转自http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=spaceuid=81613do=blogid=333317)的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。