關(guān)鍵字：基函數(shù)，控制點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)

參考：http://www.docin.com/p-1511846558.html?

前言：之前寫(xiě)寫(xiě)過(guò)一篇B樣條曲線，這篇是原文的深度擴(kuò)展，是針對(duì)B樣條曲線的一種特殊情況，三次B樣條，討論了其插值和誤差分析，添加了一些個(gè)人總結(jié)。

思路：根據(jù)已知的型值點(diǎn)（就是給出的已知的數(shù)據(jù)點(diǎn)），采用均勻參數(shù)法構(gòu)造節(jié)點(diǎn)矢量，得到基函數(shù)的表達(dá)形式，然后利用逼近思想構(gòu)造三對(duì)角陣，利用追趕法求控制點(diǎn)，最后擬合。

一、目的和思想

由已知的觀測(cè)點(diǎn)，為物理量（未知量）建立一個(gè)簡(jiǎn)單的，連續(xù)的解析模型，根據(jù)該模型推測(cè)在非觀測(cè)點(diǎn)的特性。

B樣條相比于分段線性插值，在節(jié)點(diǎn)處可導(dǎo)，具有光滑性，這是它的優(yōu)點(diǎn)。

構(gòu)造思想在于通過(guò)給定的型值點(diǎn)反求出控制點(diǎn)，從而擬合曲線，可以通過(guò)更改控制點(diǎn)改變曲線形狀。

實(shí)際B樣條計(jì)算的兩種情況：第一種就是本文的構(gòu)造思想（上一行）。第二種是直接給出控制點(diǎn)。

二、定義

2.1 B樣條

控制點(diǎn)為Pi(i=0,1,2,....,n)，p次B樣條曲線方程為

是p次B樣條基函數(shù)，為節(jié)點(diǎn)矢量。

節(jié)點(diǎn)矢量的選取方法為：均勻參數(shù)法，積累弦長(zhǎng)法，向心參數(shù)法（這里選擇均勻參數(shù)法）

?

注意這里的u是一個(gè)點(diǎn)，可能位于的一個(gè)數(shù)，而不是像的一個(gè)向量。

為了將曲線的首末端點(diǎn)分別與首末數(shù)據(jù)點(diǎn)對(duì)應(yīng)，需要將首末端點(diǎn)都做p+1重，即

即

注意對(duì)于p次樣條，有

三、3次B樣條基的計(jì)算

根據(jù)第二條性質(zhì)，時(shí)，

p=3時(shí)，

其中每一項(xiàng)分別如下：

四、3次B樣條控制點(diǎn)的計(jì)算

假設(shè)給定一組型值點(diǎn)和節(jié)點(diǎn)矢量，首末是四重，即，首末分別與和對(duì)應(yīng)。如下圖所示，那么內(nèi)部節(jié)點(diǎn)與對(duì)應(yīng)。即與對(duì)應(yīng)，與對(duì)應(yīng)，則r-0+1=m-3-3+1，r=m-6。所以如前文所述，這里控制節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為n+1，因?yàn)閙=n+p+1，所以m=n+4，那么r=n-2。

那么B樣條曲線的方程為

為了求控制點(diǎn)Pi，采用非節(jié)點(diǎn)條件，將首末型值點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)于參數(shù)和，使得所取得的參數(shù)分別接近于，有

即

其中

化成三對(duì)角矩陣，用追趕法求解

五、B樣條曲線誤差分析

對(duì)于每個(gè)小區(qū)間上的點(diǎn)u，可以表示為

B樣條曲線上一點(diǎn)為，注意這里的P的是二維的，第二個(gè)下標(biāo)表示是第一維度的還是第二維度的。那么

繼續(xù)化簡(jiǎn)，

如果分段線性插值上的點(diǎn)為，那么

令

那么

在每一個(gè)區(qū)間上，3次B樣條曲線與折線段都會(huì)有一個(gè)或者兩個(gè)功高，功高可以衡量誤差的大小

令

那么

根為

B樣條曲線與折線段出現(xiàn)一個(gè)功高，出現(xiàn)兩個(gè)功高，曲線與折線段有交點(diǎn)，交點(diǎn)參數(shù)為曲線上點(diǎn)的斜率與原型點(diǎn)連線斜率相等時(shí)功高最大，可以用牛頓切線法找到功高最大點(diǎn)處，計(jì)算功高大小，判斷插值好壞。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的三次B样条插值和误差分析的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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