Ax=b

如果b存在于A的列張成的空間中，則有解，否則無解；

如果b存在于A的列張成的空間中，且A的列均是線性無關的（列滿秩），那么存在唯一解；

如果b存在于A的列張成的空間中，但A的列是線性相關的（非列滿秩），那么存在多解；

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Ax=b

• A如果行滿秩，說明A的秩等于行滿秩的秩，也就是A的列數只能大于等于行數（多解或者唯一解）
  • A的列數等于A的行數，那么A的列是線性無關的，可以張成整個空間，對于任意的b存在解且唯一；
  • A的列數大于A的行數，那么A的列是線性相關的，雖然可以張成整個空間，對于任意的b存在多解；
• A如果列滿秩，那么A的列是線性無關的，說明A的秩等于列滿秩的秩，也就是A的行數只能大于等于列數（無解或者唯一解）
  • A的行數等于A的列數，退化成滿秩問題，對于任意的b存在解且唯一；
  • A的行數大于A的列數，情況分為2種（不存在多解的情況）：
    • 如果b不存在于A的列張成的空間中，則無解；
    • 如果b存在于A的列張成的空間中，則有唯一解；
• A既不是行滿秩也不是列滿秩（無解或者多解）
  • 如果b不存在于A的列張成的空間中，則無解；
  • 如果b存在于A的列張成的空間中，則有解，且是多解；（這里不考慮其他部分均0，可以退化成低維度滿秩的情況，即不考慮[1 0; 0 0]）

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Ax=0

• 如果A滿足列滿秩，那么x只有零解。從空間的角度看，因為A列滿秩，所以A的列線性無關，所以線性組合成任意一個矢量都只有一個解；如果A是方陣，且滿秩，那么只有零解。
• 如果A不滿足列滿秩，存在多解。

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注：考慮對方陣$M$求特征向量和特征值時，$(M?\lambda I)x=0$，特征向量一定不會是零向量，所以$M?\lambda I$一定不是滿秩的（否則$x$只能是零向量），也就一定有零特征根，那么$M?\lambda I$的行列式等于其所有特征值之積，那么$M?\lambda I$的行列式一定等于0。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的20210905 Ax=b的解的三种情况的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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