定積分和不定積分

兩者有本質區別。從概念的引入就截然不同，毫無關系。所以學習過程中，不要把兩者高搞混。理解定積分不需要理解不定積分，同樣地，學習不定積分也不需要理解定積分。

不定積分的概念引入是「導數的逆運算」

定積分的概念引入是「面積的定義」

今天我記錄的是定積分的部分，不全，以后補充修正。

什么是定積分？

對「定積分」的定義是對「曲邊梯形面積的定義」，進一步地，實際上是「求面積過程的抽象表示」。如果你已經有了定積分的知識，你會發現：定積分的符號其實就一「求面積的過程」：先求和，再取極限。說白了，定積分的符號只是在說「按照符號所表示的步驟算就能算出面積」，它刻畫了一個面積與函數的關系。

所以，我們對定積分符號的理解，既可以是「求面積過程的抽象表示」也可以是「面積本身」。這沒什么區別，所以定義定積分，就是在問我們自己：求一個面積的過程是什么？

那么顯然，不同的人求面積有不同的方法，因此有不同的定積分表示，也就不足為奇了。而我們現代數學所給出的一種求解思路是黎曼給出的，所以叫做黎曼積分，我們簡稱定積分。這也能夠說明為什么一個函數是可積的要寫成：

的形式，因為R代表Riemann（黎曼）。感想總結：定積分，就是一個求解面積的思路。其符號是這一思路的抽象表示，思路可以有很多種，我們學習的是Riemann 積分。因此，「符號」很重要，對「符號」的挖掘實際上就是對思路的理解。

定積分——求解面積的思路

簡言之，用小矩形面積的和逼近。

黎曼積分求解思路

這個思路很好理解，簡單來說分成四步：先分割，再求每個矩形面積，再求和，最后取極限。

我們一步一步來引出黎曼積分。

（一）分割

拿到一個函數：分割什么？怎么分割？

首先，這是個函數，所以對函數自變量進行切割，以達到目的是顯見的思路。

自然語言：我們往一個區間內投下若干個點。切割完成。

我們得進一步問自己，是不是這個區間里點的數量，點與點之間的長度沒有要求？

答：是，只要有點，無論點在什么區間的什么位置上，無論區間內被投下了多少個點，我們都已經達成了切割的目的。因此，在這一步中，投的點的數量和方法都是任意的。

數學語言： 在 內任意地插入n-1個分點。

任意地：表示區間內，每點的位置都隨機，本質上反映的是相鄰兩個分點的距離沒有要求。

注意，

我們寫了是n-1個點，其實并沒有規定數量，因為n是任意給定的，這樣寫是為了之后方便刻畫分點數量與區間長度或者面積的關系，請在這里把n理解成一個筐，它代表一個尚未確定的數量（畢竟我們總得找個東西替代「任意數量」來方便以后的描述吧）。之所以是n-1是因為，我們當然希望這個區間被割成n段，其實插入n個分點也行，當然，你這個區間就被割成了n+1段，這無傷大雅，只是方便與不方便的關系。

還記得極限中

的含義么？所謂任意其實是任意選定。這意味著，我們現在所給的「切割」這個表述，在沒有給定具體的點的數量和點的位置的時候，其實涵蓋了這個區間上所有可能的分割情況：從只有一個分割點，到無窮無盡個分割點，從分割點之間的距離都一樣，到每點之間距離都不同。無論點的數量和位置再怎么變化：都是我們所給定刻畫中的一種情況罷了。這種結果的產生是「任意性」的功用，請注意，任意這個詞很有威力。

我傾向于在這里停一停，闡述一下「任意」：
1.任意是涵蓋所有情況的。是一種統領，在「任意」條件下的命題，是一般化的，普遍化的，他告訴我們某命題對任何一種給定的情況都適用，或者某操作，某條件包括了一切情況。包括無限近處，和無限遠處。

2.任意又是任意選定的意思，表示一旦選定，就不會再改變。

因此我們可以自信地說，通過我們的定義，把所有可能的分割情形都包在里面了。

既然我們描述了切割的操作，自然也要刻畫一下切割以后，區間的狀態。

在求面積的時候，我們關心的是相鄰兩點之間的長度（矩形的寬），那么自然，我們需要給分割后區間上的分點起個名字以方便刻畫每個小矩形的邊界，還需要給相鄰點間的距離起個名字來表示長度，然后，因為分割是任意的，每一種分割對應著不同的狀態，從整體上點的分布起個名字，代表著一種「劃分」狀態。

所以有以下定義也就不足為奇了，只是為了方便敘述而引入的「名字」罷了：

自然地，當我們把區間的端點納入考慮的范圍的時候，就有：

,其中，每一個「分點」被記作 ，

點的名字起好了，我們是通過自然數下標的對應關系確定的，這樣的話我們就可以通過操作自然數下標自由地取出一系列具有相應特征的點，比如

，這樣的子列。因此，這樣的起名方式是合適的。

注意，在這里，我一直強調這種新的定義只是一種為了方便敘述而起的名字，就跟生了小寶寶就必然要對它起名一樣自然。

定義了區間內的點（給區間內的點起完名字），那么相鄰兩點的區間長度的命名就顯得十分自然：

則 ,其中， 是區間長度。

同樣地，我們通過自然數下標的方式對其命名，這種起名方式如此方便，簡潔，能讓我們通過自然數下標對內部的區間長度進行任意的提取，蘊含了智慧。

與此同時，我們發現，我們在命名區間長度之后，還為它賦予了值的意義。

對于任意地插入點后區間內點的分布「狀態」，我們稱之為「劃分」。用記作 。對于某一個劃分，我們也可以通過下標或者上標控制。

注意，定義的劃分雖然涵蓋了所有可能的情況，但它本身實際含義是「任意一種」。

就和我們說實軸上的點x可以是任意一個實數，從而「涵蓋了實數的所有可能」，但它肯定不是「所有實數」一樣自然。

因此我們敘述中，當然可以說一個劃分，若干個劃分，這實際上代表著區間內插入點的數目多少和相鄰點之間的距離，簡言之，劃分代表著分點的分布狀態。

在這里，我們先不對

下定義，因為暫時的，對它起名字還不是那么必要，我希望傳達一個這樣的信息：任何定義的引入，或者給任何一個東西起名字，都不是憑空產生的，都是為了一定的方便。在必要性尚未顯見的時候就起名字難免讓人奇怪。

我們在切割時候，還要時刻問自己，我們這么切是為了啥？

為了方便地描述每一個小矩形的面積。

（二）給求小矩形面積

在上面的切割過程中，我們輕松地看到了任一小矩形的寬，可以用

表示，自然地，我們只差一個高了。

高怎么表示呢？

很自然的想法是

,但這精確么？并不。

那我...需要取一個「精確的高」么？做不到，也不需要。

因為我們心里很清楚，按照我們的思路，在接下來的步驟中，會對切分出的分點段長度取極限，讓它無限地小，無限地小，小到可以忽略不精確的部分。

我們需要注意的是，這種忽略不是一種近似，它在值上面確確實實等于我真實的面積。

這里先按下不表，接下來我們會繼續討論。

在這里，我們需要清楚：

我們需要做的，實際上是：讓我們的「高」受到「分點段長度」的「控制」。

這樣在不斷地縮小「分點段長度」的過程中，「高」可以隨之改變。

因此，「高」取

當然是沒有問題的，

那么，「高」還可以取得其他值么？

我們繼續思考，對于任意的

，是不是都能夠保證對應的函數值隨著區間段的縮小而逐漸逼近于同一個值呢？是的。

因此，為了更一般的表述，或者為了一個「更強」的命題，我們高的選取是這樣刻畫的：

任取介點

每一個小矩形的高的選擇完成。

我們在這里再停一下，回頭看一眼：

對于每一個高我們都做出了刻畫，我們再給這些高整體起一個名字吧，我們稱一個劃分下所有高對應的x值的集合為一個介點集。 這里的命名是自然的，并沒有什么額外的含義，只是因為有所以叫而已。

（三）求和

接下來自然是求和啦～

讓我們把這些小矩形的面積好好地加起來，變成一個黎曼和的形式。

即：

我們再起一個名字吧！給黎曼和起一個名字，在這里起名字純粹是為了方便書寫，并且凸顯一些關系，實際上是無所謂的。

在這里我們凸顯了，黎曼和只和函數/劃分點的選取（實際上是矩形寬）/介點的選取（矩形高）有關，其余無關。這也是黎曼和的特性，判斷是否是黎曼和的標準。

完成這一步，我們再回頭看一看：

我們在求和完成后，用一堆矩形的面積和覆蓋掉原圖的面積，這是一種近似，但我們可以通過不斷地對區間段進行加細，即盡可能多地往區間內插入點，以讓每一個矩形的寬都不斷地變小，進而控制每一個矩形的高不斷地變化，以讓每一個小矩形都在「無限小處」覆蓋對應部分面積，此時，這無窮多個矩形的面積和，與原圖形的面積沒有差異了，這是因為每一個小矩形在無窮處剛好覆蓋那一點點的面積，而沒有空隙。

！！

你會疑問：為什么在「無限小處」對應部分面積與相應部分面積之間沒有差異。

這是精髓所在：因為「極限」思想，如果還不理解，請看本專欄的第一篇手記。

我們之前所操作的三步，思路平平，但其實暗藏玄機————在于變量之間的相互「控制」。

我們只要控制住「最大矩形的寬度」使它無限小，就能保證「所有矩形的寬度無限小」，又因為，每一個小矩形的高度是由「對應矩形寬度」決定的，因此，我們還能保證任意選取的小矩形的高也不斷地逼近于同一點。這樣，我們就能保證，每一個小矩形都逼近于一個點附近的面積，自然地，求和以后就是原圖形面積。

很妙，但「最大矩形寬度」我們并沒有定義。

所以我們命名

為劃分下最大區間長度。

（四）取極限

很簡單，讓

即可。

由此，我們完成了這一系列操作，我們再來看定積分的定義是不是順眼很多了呢？

總結

以上是生活随笔為你收集整理的R语言怎么写积分_手记(4)：定积分的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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