前言：本節課講了條件期望以及他的應用， 任意數量的獨立隨機變量的加和以及它的期望和方差。

$$E[X|Y=y]=\sum _{x}x{p}_{X|Y}(x|y)$$
這個式子是學期望那節課中，給定一個條件Y = y時，x的分布和x的值構成的期望。在這里y 是一個固定的值，就是說已經知道第一節長度是y。在上面那個截斷棍子的例子中，有$E[X|Y=y]=\frac{y}{2}$

如果事先不知道第一節的長度，取消固定Y= y，X|Y可以理解成一個新的隨機變量，這個隨機變量是關于充當條件的隨機變量的函數。
$E[X|Y]=g(Y)$這個條件期望是關于Y的一個函數，那么就也是一個隨機變量。

Law of iterated expectations:
$$\begin{gathered} E[X|Y]=g(Y) \\ E[X|Y=y]=g(y) \\ E[E[X|Y]]=E[g(Y)] \\ =\sum _{y}g(y)P_Y(y) \\ =\sum _{y}E[X|Y=y]P_Y(y)=E[X] \end{gathered}$$
The expected value of conditional expectation is the expectation itself.

因為$var(X|Y=y)$ 是與 y 相關的一個值
同理 $var(X|Y)$也是一個關于Y的一個函數，因此是一個random variable。
（b）到 （c）用了上一篇的$E[E[X|Y]]=E[X]$
intuition 留到講inference的時候


就這個例子可以看出，成績分布的分散程度可以由兩部分組成：
1， 每個班級自己的分散程度
2， 班級與班級之間的分散程度

總結

以上是生活随笔為你收集整理的Lecture 12: Iterated Expectations； Sum of a Random Number of Random Variables的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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