備考概率論遇到了二維連續型隨機變量概率問題，對于其中的原理怎么也不是很理解，看到書上講到了二重積分，就從二重積分開始再復習下吧！也作為高等數學的備考內容來準備著。

1、為什么說定積分積分范圍是直線的？

這個可以從定積分印象得到，腦補的情形就是一條曲線在X軸投影的某個區間的面積。正是因為“區間”，可以應用到概率的隨機變量上，因為隨機變量的定義就是 <= 某點的所有情況的概率。

2、為什么定積分的值就是落在這個區間的概率值呢？

沒必要心懷疑惑，前提還是前提，大學里為啥沒學好高數呢？就是因為心中的疑惑，沒有得到及時的解決。高數真的難嗎？女生都一樣學好的東西，為啥學不會呢？還不是往往對結論懷疑嗎，只看到結果沒看條件。其實也變相說明了世間的一個真理 “任何事都不要太較真，不必糾結于一方面，靜下心來思考，仿佛冥冥之中如有神助”。連續型隨機變量也是一樣的。它的分布函數符合?(-∞) 到 x 上所有點，并且，所有點符合關于x一個函數f(x)的趨勢。也就是其定義：

3、知道了上面這些，引入二重積分概念就比較簡單了，什么是二重積分呢？

定義的腦補幾何是一個曲頂柱體，簡單來說就是以有界區域D（其實是曲面f(x,y)在xoy這個面上的投影）為底，以曲面f(x,y)為頂，這個曲面柱體的體積。求法如下：

其思想和定積分的思想是一樣的。f(ξ,η)其實是作為分割小區域上Δσ（西格馬）上一點，因為這些小區域被分割的很小，曲頂的高度變化很小，所以就可以近似當成是一個平頂柱體來看所以就可以把f(ξ,η)作為高的。其實也很好理解，當小區域無限小，趨于0時，就是演變成了一個個的點柱的體積，這些點柱的體積和就是這個曲頂柱體的體積精確值。

由于最后取分割小區域面積的極限，所以與分割方式與取點方式無關。那么Δσ也可以表示為矩形的面積Δσ=ΔxΔy形式。也就是由原來的點柱，變成矩形柱，腦補圖如下：

4、關于可不可積的問題？

若由現實中的問題應用二重積分，只要保證f(x,y)在有界區域D上連續，就可以得到f(x,y)是可積的。連續是可積的充分條件。也就是可積不一定推出連續，只能得到在這個區域上連續。

不可積的情形，就是不連續的情形。這里f(x,y)要當作純函數來理解。

5、計算二重積分方法有哪些？

理解了二重積分的定義，對于概率論中有關多維隨機變量的解法就知道了大半，與定積分一樣，為什么多維隨機變量會對應到二重積分，前提就隨機變量符合二元函數的變化。再掌握下二重積分的計算。基本概率論的題應該就差不多了，但作為高數備考，還得了解二重積分的性質，詳見擴展吧！

學高數，還在于會計算。思想是可以通用的如極限，可以用到程序，用到其他。但計算方法正是數學特有的。正如解二重積分，當遇到函數已知，如何分割區域D就成為求解的路徑了。這其實也是將求曲頂柱體這種求立體體積的問題，轉成了二維面積問題，實現了簡化和降維。

直角坐標系下計算二重積分：（計算方法是二次積分，化成依次進行的兩個定積分，根據什么化呢？有特定的形式）

解法的步驟：

1、先找到區域D在x軸或y軸的投影區間

2、找到上邊界曲線寫成y=f（x)左邊界曲線寫成或x=f（y)的形式。記憶為：對哪個軸投影，就將此軸上的變量寫成函數形式，如對x軸投影就寫成f(x)作為另一個軸的雙邊(何為雙邊？就是曲線的左右或上下邊界)不等式一邊。同時，先求以f(x)為界的定積分，以把f(x)當作常數來代入，以f(x)為界的定積分是以y作為變量的積分，即所謂的先對y求積分，將y=f(x)代入后，會得到一個關于x的的函數，剩下就是關于x的一個定積分，再求x的定積分，就得到整個二重積分的結果。簡單來說，就是“對哪個軸投影，決定了f(x)還是f(y),進而決定先對x還是先對y積分”。

3、同理，找到下邊界或右邊界曲線。得出雙邊不等式，這一步是解題的關鍵。

4、然后，按照先內后外的形式依次求解定積分。

掌握這些，應付考試基本夠用了。有空還得復習下定積分的內容。

6、如何確定先x后y,還是先y后x呢？也就是積分次序？兩個原則：

1、積分區域的分塊盡可能少

2、被積函數盡可能容易積分

?

擴展：二重積分的性質

二重對稱奇偶性：

何為奇函數，何為偶函數呢？

利用奇偶性可以簡化二重積分的計算。

利用幾何意義分析二重積分奇偶性：

當f(x,y)>=0時，在區域D上的二重積分代表曲頂柱體的體積，當f(x,y)<=0等于曲頂柱體體積的相反數。

假設f(x,y)是關于x的奇函數，故曲面z=f(x,y)關于y軸所在直線對稱。再假設積分區域D關于Y軸對稱，則y軸把D分成“相等”的兩部分，分別對這兩個小區域上對f(xy)積分，由于左右全等，故結果互為相反數，再根據對積分區域可加性，所以結果為0。如下圖所示：

注意：只有積分區域對稱性和被積函數奇偶性同時滿足時，結論才成立。

?

極坐標系下二重積分計算:

極坐標的概念：

平面點的極坐標表示，實質就是已經夾角θ和距離r的情況下確定平面點的坐標，如下圖：

?為什么夾角θ的取值范圍是【0，2π】？？？？

這其實還是”前提“，r半徑,要是繞著哪一點轉,θ就是從這一點出發的仰角。這里的前提就是半徑r是繞著原點轉的。所以在標準情況下x^2+y^2=R^2,0≤r≤R，所以角度就是0到2π，轉一圈，可以這么理解，因為圓的周長是2πr,如下圖：

極坐標下計算二重積分？

思想是一樣的，也是將區域分割成小區域，然后求和，取極限。兩個扇形面積的差，可以表示出劃分后的小區域，但取無限細分的區域是沒必要這么麻煩的，所以直接近似的算小矩形的面積就可以，如下圖：

小矩形的面積如何求呢？

近似的可以看出是藍色區域的下弧長 X 半徑差Δr，如下圖所示：注：這里需要了解的是弧長的計算公式? ? ?l = n（圓心角）× π（圓周率）× r（半徑）/180=? ? ?α? (圓心角弧度數)× r（半徑）這里的 π/180=0.0174，是個很小的數，用?α表示。根據實際情況，這里省略了。

?到這里可以得出面積微元Δσ=r? .?dr . dθ,與上面小矩形面積公式是一一對應的。根據平面坐標系下二重積分的公式：x用極坐下r cosθ代替,y用極坐標下r sinθ代替，得到極坐標下二重積分的表示。

可以看到f(rcosθ,rsinθ)r，都是關于r?θ,一個函數，記為g(r,θ),這里就可以看作是直角坐標系下的二重積分，從而完成了抽象建模的過程，剩下就是按照二重積分的解法，求解就可以了

根據圖形，找出關于r?θ,的雙邊不等式，就可以求解，如下圖：

1、先找出關于?θ的雙邊不等式，就是看要分解的區域是夾在哪兩個射線之間的。如上圖：=<θ<=𝛽

2、找出兩個射線間的內邊界曲線，再找到外邊界曲線，就可以確定兩個射線間任意角度?θ，那么就可以確定邊界函數。如上圖𝜑1(θ)=<r<=𝜑2(θ).關鍵問題還是寫積分區域的不等式。

3、轉成二次積分的形式：注意，轉成f(r cosθ,r sinθ)后面還有一個r

什么情況下用極坐標形式解二重積分呢？

1、雙邊曲線是一個圓弧或圓盤等形式。

2、被積函數x^2+y^x或y/x的形式（也就是直角坐標系轉成極坐標關系）。

?

總結

以上是生活随笔為你收集整理的高等数学复习之二重积分的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。