擴展有限元求解弱不連續問題.

擴展有限元求解弱不連續問題數學計算機學院 信息與計算科學專業 2011屆 段斯琦摘要：擴展有限元 ( XFEM ) 是在標準有限元的框架下，提出來的一種有利于解決裂紋、孔洞、夾雜等不連續問題的數值方法. 本文闡述了XFEM的基本原理，分別以孔洞、夾雜做為弱不連續問題的代表，推導了擴展有限元求解弱不連續問題的支配方程，并采用水平集法 ( LSM ) 描述不連續面的幾何特性及其移動規律；展示了擴展有限元法在求解弱不連續問題中的獨特優勢. 關鍵詞：擴展有限元；弱不連續；水平集法；孔洞/夾雜中圖分類號：TB115The Extended Finite Element Method for Weak DiscontinuitiesAbstract: The extended finite element method ( XFEM ) is a new numerical method for modeling discontinuity such as cracks，holes，inclusions etc，which based on the standard finite element framework. In this paper，the basic principle of extended finite element method for solving the weak discontinuity problem such as void or inclusion in solids is introduced. The governing equation of extended finite element method solution of weak discontinuities is derived. The level sets method ( LSM ) is used to describe the geometric characteristics and movement rules of discontinuity. The numerical results show the unique advantage of the extended finite element method to solving the weak discontinuity problems.Key words: extended finite element method; weak discontinuities; level sets method; void & inclusion目錄1 引言12 擴展有限元法 ( XFEM )22.1 XFEM的基本方程22.2 單位分解函數 ( PUM )22.3 孔洞和夾雜問題33 水平集法 ( LSM )43.1 水平集函數53.2 LSM對孔洞和夾雜的描述54 XFEM的位移模式84.1 Standard-XFEM84.2 Shifted-XFEM94.3 Modified-XFEM94.4 Corrected-XFEM94.5 Expanded corrected-XFEM105 數值算例105.1 單夾雜問題115.2 多夾雜問題13結束語14參考文獻14致謝15擴展有限元求解弱不連續問題1 引言固體力學中存在兩類不連續問題：強不連續 ( 位移不連續 ) 問題和弱不連續 ( 應變不連續 ) 問題. 常規有限元法 ( finite element method，FEM ) 在處理這些不連續問題時，需嚴格按照材料的幾何或物理邊界來剖分網格，前處理工作十分繁瑣甚至無能為力. 　 常規有限元方法是目前解決科學和工程問題最有效的數值方法，與其它數值方法相比，它具有適用于任意幾何形狀和邊界條件、材料和幾何非線性問題、容易編程、成熟的大型商用軟件較多等優點. 但是，在求解一些特殊問題，特別是間斷問題時，有限元方法存在著某些固有的缺陷. 例如： ( 1 ) 有限元采用的是連續性的位移近似函數，對于裂紋類強間斷問題，為獲得足夠的計算精度，需要對網格進行足夠的細分，計算量極大. ( 2 ) 在采用拉格朗日法求解金屬沖壓成形、裂紋動態擴展、流固耦合、局部剪切等涉及特大變形問題時，有限元網格可能會產生嚴重扭曲，使計算精度急劇下降甚至計算無法繼續，因此，需要不斷地進行網格重構，計算量極大. 同時，為了模擬裂紋的動態擴展過程，也需要不斷地進行網格重構. ( 3 ) 在處理夾雜問題時，單元的邊須位于夾雜與基體的界面處，即使對于網格自動化程度很高的二維問題這也很不容易，而三維問題則更復雜. 針對有限元方法的這些不足，1999年，美國西北大學的Belytschko研究組提出了一種用于處理

總結

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