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? 單應(yīng)矩陣描述的是空間中同一平面上的三維點在兩張圖像中的對應(yīng)關(guān)系。這里需要強(qiáng)調(diào)的是同一平面。

? 單應(yīng)矩陣可以應(yīng)用在圖像矯正、圖像配準(zhǔn)拼接、視角轉(zhuǎn)換以及計算兩張圖像的相機(jī)運動（旋轉(zhuǎn)和平移）上。

下面我們推導(dǎo)一下單應(yīng)矩陣，本文講述了兩種推導(dǎo)方式。首先回憶一下相機(jī)模型矩陣：

? ?其中：

[R T]?是一個3x4的矩陣，Xw是一個4x1的矩陣，K是一個3x3的矩陣。

?

?

圖1 空間中同一點投影到兩圖像上

?

為了討論更為一般的情況，我們假設(shè)兩張圖片來自于兩個相機(jī)A、B(對應(yīng)著左右圖)，這樣兩個相機(jī)的內(nèi)參矩陣是不同的，分別為Ka、Kb。世界坐標(biāo)系中的三維點到相機(jī)坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換，對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)、平移矩陣分別為：

這樣一來，我們就可以得到兩個相機(jī)模型矩陣。

?

將世界坐標(biāo)系中的點用非齊次形式（頭頂一飄~）表達(dá)為：

?

?

1. 推導(dǎo)一：

在相機(jī)坐標(biāo)系下，空間中的平面模型為

是在相機(jī)坐標(biāo)系下的非齊次坐標(biāo)。

?

圖2?相機(jī)看空間中的一個平面

?

接下來推導(dǎo)從左圖（相機(jī)A）到右圖（相機(jī)B）的映射矩陣，需要用到的式子先擺上（下標(biāo)中帶字母“ca”和“a”，對應(yīng)相機(jī)A）。

? ? ? ?是平面在相機(jī)A坐標(biāo)系下的法向量，d表示該平面到相機(jī)A的垂直距離，是相機(jī)A坐標(biāo)系下平面上的一點。

?

開啟推導(dǎo)模式：

? ? ? ? ?

??需要說明一下：

是上述平面在世界坐標(biāo)系中的法向量。

?

（旋轉(zhuǎn)矩陣R是正交矩陣，所以R的轉(zhuǎn)置就等于R的逆）

?

? ?至此，經(jīng)過上述推導(dǎo)，兩張圖像中點的對應(yīng)關(guān)系我們就得到了。

如果把世界坐標(biāo)系和相機(jī)A坐標(biāo)系重合，那么

上式化簡為：

?

單應(yīng)矩陣

H是一個3x3的矩陣，可以看出單應(yīng)矩陣與兩個相機(jī)之間的相對運動以及所拍攝平面特性有關(guān)系。

?

2. 推導(dǎo)二：

??為了方便計算，假設(shè)所拍攝平面在世界坐標(biāo)系中位于Z=0上。

這樣Xw大小就由原來的4x1變成了3x1，旋轉(zhuǎn)矩陣R中第三列就可以消去，[R T]變成了3x3的矩陣。

3. 如何計算H:

?

為兩張圖像中匹配的點對（可以利用sift、surf等描述子匹配獲得），每一對匹配點，可以得到兩個方程。H矩陣中h9是尺度，所以一共有8個未知數(shù)，則至少需要4對點就可以解出矩陣H。解H矩陣常用的一個方法是SVD分解，以后我們會講一下SVD分解。

?

這里給出MATLAB中求解H的代碼：

[U,S,V] =svd(A); H=V(:,end); H=reshape(H,3,3);

至此，單應(yīng)矩陣的推導(dǎo)以及計算就講解完了。這里仍然需要強(qiáng)調(diào)的是：使用單應(yīng)矩陣，需要確保三維點在一個平面上。（當(dāng)然并不是必須在一個平面上，因為如果三維點距離相機(jī)比較遠(yuǎn)，三維點之間的距離和其距離相機(jī)的距離相比就很小，那就可以認(rèn)為在一個平面上了。）

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的单应矩阵公式推导及计算的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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