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一、地方坐標(biāo)系簡介

地方坐標(biāo)系（Local Coordinate System）是因建設(shè)、城市規(guī)劃和科學(xué)研究需要而在局部地區(qū)建立的相對(duì)獨(dú)立的坐標(biāo)系統(tǒng)，是在局部地區(qū)建立平面控制網(wǎng)時(shí)，根據(jù)需要投影到任意選定面上和（或）采用地方子午線為中央子午線的一種直角坐標(biāo)系，屬于參心坐標(biāo)系。地方獨(dú)立坐標(biāo)系通常采用的是高斯克呂格正形投影平面直角坐標(biāo)系，然后把獨(dú)立測量的工程控制網(wǎng)建立在當(dāng)?shù)睾０胃叱堂?#xff0c;并與當(dāng)?shù)刈游缇€為中央子午線作為投影變換的依據(jù)。

二、建立背景

• 進(jìn)行工程測量建立平面控制網(wǎng)時(shí)，如局部地區(qū)沒有已知控制點(diǎn)可利用，則選擇網(wǎng)中某一點(diǎn)假定其坐標(biāo)，選定某一邊假定其坐標(biāo)方位角，以此為起算數(shù)據(jù)推算網(wǎng)中各點(diǎn)的坐標(biāo)。
• 在國家控制網(wǎng)未擴(kuò)展到的地區(qū)，為了測繪地形圖而布設(shè)控制網(wǎng)時(shí)，可在網(wǎng)中選一點(diǎn)觀測其天文經(jīng)緯度和至另一點(diǎn)的天文方位角，按統(tǒng)一投影帶的劃分，將該點(diǎn)的天文經(jīng)緯度換算為平面直角坐標(biāo)，將天文方位角換算為坐標(biāo)方位角，以此為起算數(shù)據(jù)，推算網(wǎng)中各點(diǎn)的坐標(biāo) 。
• 獨(dú)立坐標(biāo)系主要是根據(jù)城市或工程建設(shè)需求而建立的，其主要特點(diǎn)是限制長度變形，要求實(shí)地量測邊長與坐標(biāo)反算邊長應(yīng)滿足2.5厘米/公里限差。然而，采用國家坐標(biāo)系統(tǒng)在高海拔地區(qū)或離中央子午線較遠(yuǎn)地方不能滿足這一要求，這就要考慮建立地方獨(dú)立坐標(biāo)系。

三、建立方法和步驟

3.1 建立方法概述

• 把中央子午線移到測區(qū)中央，歸化高程面提高到該測區(qū)的平均高程面上，建立任意帶高斯正形投影平面直角坐標(biāo)系，這樣可以使測區(qū)的長度變形在測區(qū)中央幾乎為零。當(dāng)測區(qū)高差起伏在100米范圍內(nèi)時(shí)可以保證離中央子午線40千米以內(nèi)的地區(qū)其長度變形在每公里2.5厘米以內(nèi)（可控制的東西寬度100千米）。這種地方獨(dú)立坐標(biāo)系最適合工程建設(shè)地區(qū)的需要，因此，在工程建設(shè)區(qū)域面積不是太大、東西跨度在80千米可以完全滿足需要。
• 采用抵償高程面的方法建立獨(dú)立坐標(biāo)系，即中央子午線保持不變，選擇某一高程面作為歸化高程面，使高程歸化改正和高斯投影變形改正相互抵消，使測區(qū)中央的兩項(xiàng)投影變形接近于零。
• 以上兩種方法建立獨(dú)立坐標(biāo)系都變動(dòng)了高程歸化面，這將產(chǎn)生一個(gè)新橢球，這不僅要計(jì)算出新橢球參數(shù)，還要把本地區(qū)國家坐標(biāo)系控制點(diǎn)轉(zhuǎn)換到新產(chǎn)生的橢球面上作為獨(dú)立坐標(biāo)系的起算點(diǎn)，計(jì)算較復(fù)雜。為了避免這些復(fù)雜的計(jì)算，可以采用不變動(dòng)高程歸化面(長度仍然歸化到國家坐標(biāo)系參考橢球面)，只移動(dòng)中央子午線的辦法來建立獨(dú)立坐標(biāo)系。
• 利用GPS-RTK技術(shù)建立獨(dú)立坐標(biāo)系。近年來，隨著測繪技術(shù)的發(fā)展，GPS相對(duì)定位技術(shù)已經(jīng)成為改造和建立城市坐標(biāo)系和控制網(wǎng)的主要技術(shù)手段。在常規(guī)測量中，這種獨(dú)立坐標(biāo)系只是一種高斯平面直角坐標(biāo)系，而在采用GPS-RTK采集數(shù)據(jù)時(shí)，獨(dú)立坐標(biāo)系就是一種不同于國家坐標(biāo)系的參心坐標(biāo)系。

??建立地方獨(dú)立坐標(biāo)系的常規(guī)方法是以一個(gè)國家大地控制點(diǎn)和一條邊的方位角作為起算數(shù)據(jù)，觀測邊長投影到某特定面（測區(qū)平均高程面、抵償面）上。建立的方式的共同點(diǎn)都有自己的原點(diǎn)，自己的定向，即控制網(wǎng)便是作為獨(dú)立坐標(biāo)系建立的參考。

3.2 建立考慮的因素

??在獨(dú)立坐標(biāo)系的建立過程中，應(yīng)主要注意中央子午線、投影面和坐標(biāo)系參考橢球三個(gè)方面。

• 中央子午線： 獨(dú)立坐標(biāo)系的中央子午線既可與國家坐標(biāo)系標(biāo)準(zhǔn)帶的中央子午線重合，也可與其不重合。但當(dāng)測區(qū)離標(biāo)準(zhǔn)帶中央子午線較遠(yuǎn)時(shí)，可選取過測區(qū)中心點(diǎn)或過某點(diǎn)的經(jīng)線作為獨(dú)立坐標(biāo)的新中央子午線。
• 投影面： 在實(shí)際工程中，若變換中央子午線還是不能有效解決投影變形的問題，就要考慮建立合適的投影面參數(shù)。一般情況下可選擇研究區(qū)的平均高程面或者抵償高程面作為獨(dú)立坐標(biāo)的投影面。
• 參考橢球： 地方獨(dú)立坐標(biāo)系參考橢球相應(yīng)的參數(shù)設(shè)置在原則上應(yīng)使得橢球面與投影面的擬合程度達(dá)到最好，投影長度的變形值降低到最小，同時(shí)也要滿足方便與我國國家坐標(biāo)系統(tǒng)進(jìn)行相互的坐標(biāo)換算。

3.3 基于坐標(biāo)橢球參數(shù)建立獨(dú)立坐標(biāo)系

??一般情況下，獨(dú)立坐標(biāo)系采用國家坐標(biāo)系橢球參數(shù)，(如基于2000國家大地坐標(biāo)系建立的獨(dú)立坐標(biāo)系統(tǒng)，稱為2000獨(dú)立坐標(biāo)系)，根據(jù)城市或區(qū)域中心的地理位置設(shè)定高斯投影中央子午線，或以測區(qū)平均高程面作為坐標(biāo)投影面，通過抬高或降低坐標(biāo)投影面的方法解決長度變形問題；有些獨(dú)立坐標(biāo)進(jìn)行加常數(shù)或者平移旋轉(zhuǎn)變換等。以重慶市為例，我們知道重慶位于東經(jīng)105°17′至110°11′、北緯28°10′至32°13′之間，重慶市城區(qū)的經(jīng)緯度北緯29.35°東經(jīng)106.33°。最常用的就是根據(jù)具體地理位置設(shè)定105°、108°或111°為高斯投影中央子午線。為了使橫坐標(biāo)y不出現(xiàn)負(fù)值，則無論3°或6°帶，每帶的縱坐標(biāo)軸要西移500km，即在每帶的東坐標(biāo)上加500 km。為了指明該點(diǎn)屬于何帶，還規(guī)定在橫坐標(biāo)y值之前，要寫上帶號(hào)。未加500km和帶號(hào)的橫坐標(biāo)值稱為自然值，加上500km和帶號(hào)的橫坐標(biāo)值稱為通用值。

3.4 坐標(biāo)轉(zhuǎn)換

同橢球系統(tǒng)內(nèi)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換分為兩種情況，一種是同橢球之間的轉(zhuǎn)換，另外則是不同橢球之間的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換。同橢球一種分為空間大地坐標(biāo)系與空間直角坐標(biāo)系間的轉(zhuǎn)換，即$(B,L,H)$與$(X,Y,Z)$之間的轉(zhuǎn)換。具體公式如下：

$(B,L,H)?(X,Y,Z)$：
?
$$?\begin{array}{c}X\\ Y\\ Z\end{array}?=?\begin{array}{c}(N+H)cosBcosL\\ (N+H)cosBsinL\\ \left[N(1?e^2)+H\right]sinB\end{array}?\text{\hspace{1em}(3.4.1)}$$
?
$(X,Y,Z)?(B,L,H)$：
?
$$?\begin{array}{c}L\\ B\\ H\end{array}?=?\begin{array}{c}\arctan \frac{Y}{X}\\ \arctan \frac{1}{\sqrt{X^2+Y^2}}\left(Z+\frac{a{e}^2\tan B}{\sqrt{1+{\tan }^{2}B?e^2{\tan }^{2}B}}\right)\\ \frac{\sqrt{X^2+Y^2}}{\cos B}?N\end{array}?\text{\hspace{1em}(3.4.2)}$$
?
式$(3.4.1)$和$(3.4.2)$的公式相關(guān)符號(hào)說明：

符號(hào)說明及計(jì)算方法

$X,Y,Z$	直角坐標(biāo)系下的坐標(biāo)
$B,L,H$	大地坐標(biāo)系下的坐標(biāo)，分別表示大地緯度、大地經(jīng)度和大地高
$a$	參考橢球長半軸
$b$	參考橢球短半軸
$f$	扁率的計(jì)算：$f=\frac{a?b}{a}$
$e$	第一偏心率的計(jì)算：$e=\sqrt{\frac{a^2?b^2}{a^2}}$
$e^{\prime }$	第二偏心率的計(jì)算：$e^{\prime }=\sqrt{\frac{a^2?b^2}{a^2}}$
$W$	輔助函數(shù)$W=\sqrt{1?e^{2}si{n}^{2}B}$
$V$	輔助函數(shù)$V=\sqrt{1+e^{\prime 2}co{s}^{2}B}$
$N$	卯酉圈曲率半徑$N=\frac{a}{W}$
$L_0$	中央子午線經(jīng)度
$l^{\prime \prime }$	$l^{\prime \prime }=L?L_0$
$t$	$t=\tan B$
${\eta }^2$	${\eta }^2=e^{\prime 2}{\cos }^{2}B$
${\rho }^{\prime \prime }$	$\rho ^{\prime \prime}=\frac{180}{\pi}*3600 \approx 206265 $

import math 180 * 3600 / math.pi 206264.80624709636

另一種為空間大地坐標(biāo)系與高斯平面直角坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換，采用高斯正反算的方法進(jìn)行計(jì)算。高斯正算是指將大地經(jīng)度和大地緯度換算為高斯平面坐標(biāo)的計(jì)算；高斯反算是指將高斯平面坐標(biāo)換算為大地經(jīng)度和大地緯度的計(jì)算。其換算公式的主要參數(shù)有中央子午線、投影高、投影緯度、東北平移量、投影比例。高斯正反算公式如下：

子午線弧長計(jì)算公式：

$$\begin{array}{rl}X& =a_{0}B?\sin B\cos B\left[(a_2?a_4+a_6)+(2a_4?\frac{16}{3}{a}_6)si{n}^{2}B+\frac{16}{3}{a}_{6}si{n}^{4}B\right]\\ & =a_{0}B?\frac{a_2}{2}sin2B+\frac{a_4}{4}sin4B?\frac{a_6}{6}sin6B+\frac{a_8}{8}sin8B\end{array}$$

式中：$a_0,a_2,a_4,a_6,a_8$為基本常量，計(jì)算公式如下：

$$\begin{array}{rl}{a}_0& =m_0+\frac{1}{2}{m}_2+\frac{3}{8}{m}_4+\frac{5}{16}{m}_6+\frac{35}{128}{m}_8\\ a_2& =\frac{1}{2}{m}_2+\frac{1}{2}{m}_4+\frac{15}{32}{m}_6+\frac{7}{16}{m}_8\\ a_4& =\frac{1}{8}{m}_4+\frac{3}{16}{m}_6+\frac{7}{32}{m}_8\\ a_6& =\frac{1}{32}{m}_6+\frac{1}{16}{m}_8\\ a_8& =\frac{1}{128}{m}_8\end{array}$$
式中：$m_0,m_2,m_4,m_6,m_8$為基本常量，計(jì)算公式為：

$$m_o=a(1?e^2)；m_2=\frac{3}{2}{e}^2{m}_0；m_4=5e^2{m}_2；m_6=\frac{7}{6}{e}^2{m}_4；m_8=\frac{9}{8}{e}^2{m}_6$$
?
高斯正算$(B,L)?(X,Y)$：
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$$\begin{array}{rl}x& =X+\frac{N}{2{\rho }^{\prime \prime 2}}\sin B\cos B?l^{\prime \prime 2}+\frac{N}{24{\rho }^{\prime \prime 4}}\sin B{\cos }^{3}B(5?t^2+9{\eta }^2+4{\eta }^4)?l^{\prime \prime 4}+\frac{N}{720{\rho }^{\prime \prime 6}}\sin B{\cos }^{5}B(61?58t^2+t^4)?l^{\prime \prime 6}\\ y& =\frac{N}{{\rho }^{\prime \prime }}\cos B?l^{\prime \prime }+\frac{N}{6{\rho }^{\prime \prime 3}}{\cos }^{3}B(1?t^2+{\eta }^2)?l^{\prime \prime 3}+\frac{N}{120{\rho }^{\prime \prime 5}}{\cos }^{5}B(5?18t^2+t^4+14{\eta }^2?58{\eta }^2{t}^2)?l^{\prime \prime 5}\end{array}$$
?
高斯反算 $(X,Y)?(B,L)$：
?
$$\begin{array}{rl}B& =B_f?\frac{t_f}{2M_f{N}_f}{y}^2+\frac{t_f}{24M_f{N}_f^3}(5+3t_f^2+{\eta }_f^2?9{\eta }_f^2{t}_f^2)y^4?\frac{t_f}{720M_f{N}_f^5}y(61+90t_f^2+45t_f^4)y^6\\ l& =\frac{y}{N_{f}cos{B}_f}?\frac{y^3}{6N_f^{5}cos{B}_f}(1+2t_f^2+{\eta }_f^2)+\frac{y^5}{120N_f^{5}cos{B}_f}(5+28t_f^2+24t_f^4+6{\eta }_f^2+8{\eta }_f^2{t}_f^2)\\ L& =l+L_0\end{array}$$
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$B_f$為底點(diǎn)維度，即是當(dāng)$x=X$時(shí)的子午線弧長所對(duì)應(yīng)的緯度，按照子午線弧長$X$公式迭代進(jìn)行計(jì)算。
開始時(shí)設(shè)$B_f^1=\frac{X}{a_0}$，然后按照下式迭代計(jì)算：
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$$\begin{array}{rl}{B}_f^{i+1}& =\frac{X(X?F(B_f^i))}{a_0}\\ F(B_f^i)& =?\frac{a_2}{2}sin2B_f^i+\frac{a_4}{4}sin4B_f^i?\frac{a_6}{6}sin6B_f^i+\frac{a_8}{8}sin8B_f^i\end{array}$$

重復(fù)迭代至$B^{i+1}_f - B^i_f < \epsilon $為止。
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其余參數(shù)為：

$$\begin{array}{rl}{N}_f& =a(1?e^{2}si{n}^2{B}_f{)}^{?\frac{1}{2}}\\ M_f& =a(1?e^2)(1?e^{2}si{n}^2{B}_f{)}^{?\frac{3}{2}}\\ t_f& =tan{B}_f\\ {\eta }_f^2& =e^{\prime 2}co{s}^2{B}_f\end{array}$$
?
不同橢球間的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的方法是：七參數(shù)（空間直角坐標(biāo)系統(tǒng)間轉(zhuǎn)換）、四參數(shù)+高程擬合參數(shù)（平面直角坐標(biāo)系統(tǒng)間轉(zhuǎn)換）。常見的Bursa七參數(shù)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公式如下：

$${?\begin{array}{c}X\\ Y\\ Z\end{array}?}_C=?\begin{array}{ccccccc}1& 0& 0& 0& ?Z_D& Y_D& X_D\\ 0& 1& 0& Z_D& 0& ?X_D& Y_D\\ 0& 0& 1& ?Y_D& X_D& 0& Z_D\end{array}??\begin{array}{c}{T}_X\\ T_Y\\ T_Z\\ {\epsilon }_X\\ {\epsilon }_Y\\ {\epsilon }_Z\\ m\end{array}?+{?\begin{array}{c}X\\ Y\\ Z\end{array}?}_D\text{\hspace{1em}(1)}$$

四、地方坐標(biāo)系建立意義與弊端

4.1 地方坐標(biāo)系建立意義

??在實(shí)際測量作業(yè)中，我們通常依據(jù)不同的用途和工程項(xiàng)目，采用不同的坐標(biāo)系來滿足工程項(xiàng)目的需要。高斯一克呂格投影分帶有效的限制了長度變形，但是在投影帶的邊緣地區(qū)，其長度變形仍然達(dá)到了很大的數(shù)值 。為了達(dá)到城市和工程建設(shè)的要求，我們就必須對(duì)長度變形加以限制，為此考慮建立獨(dú)立坐標(biāo)系， 目的是減小高程歸化與投影長度變形產(chǎn)生的影響，將它們控制在一個(gè)微小的范圍，使計(jì)算的長度在實(shí)際應(yīng)用時(shí)(如工程放樣時(shí))不需要做任何的改正。

4.2 地方坐標(biāo)系建立弊端

• 起算點(diǎn)坐標(biāo)從國家坐標(biāo)的參考橢球高斯成果直接搬至地方獨(dú)立坐標(biāo)系的投影面，這在理論上不嚴(yán)密，同時(shí)因起算點(diǎn)不同，整個(gè)網(wǎng)成果不同；
• 與國家大地控制點(diǎn)不能嚴(yán)格轉(zhuǎn)換，不利于資源共享；
• 不能充分利用國家大地控制點(diǎn)提高網(wǎng)的精度，對(duì)于帶狀控制網(wǎng)（公路、輸電線路等）尤為突出。由此，應(yīng)該建立一種既與國家坐標(biāo)系有嚴(yán)密換算公式，又能保證投影變形在規(guī)定范圍的地方獨(dú)立坐標(biāo)系統(tǒng)。

??在城市范圍內(nèi)布設(shè)控制網(wǎng)時(shí)，應(yīng)考慮不僅要滿足大比例尺測圖的需要，還要滿足一般工程放樣的需要，通常情況下要求控制網(wǎng)由平面直角坐標(biāo)反算的長度與實(shí)測的長度盡可能地相符，而國家坐標(biāo)系的坐標(biāo)成果則往往無法滿足這些要求，這是因?yàn)閲易鴺?biāo)系每個(gè)投影帶都是按照一定的間隔劃分，由西向東有規(guī)律地分布，其中央子午線不可能恰好落在每個(gè)城市的中央。為了減小長度投影變形所產(chǎn)生的影響，使由控制點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)反算出來的長度在實(shí)際利用時(shí)不需要做任何改正，方便測繪實(shí)際作業(yè)，根據(jù)《城市測量規(guī)范》的要求，需要建立有別與國家統(tǒng)一坐標(biāo)系統(tǒng)的城市獨(dú)立坐標(biāo)系統(tǒng)。

總結(jié)

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