隨機(jī)微分方程，俗稱SDE，相信點(diǎn)進(jìn)來的同學(xué)們肯定對(duì)這個(gè)概念不感到陌生。SDE呢，是對(duì)現(xiàn)實(shí)生活中一些隨機(jī)波動(dòng)的事物的建模，比如可以用幾何布朗運(yùn)動(dòng)(GBM)來模擬股價(jià)變化，用CIR模型來模擬利率波動(dòng)。

然而一個(gè)很現(xiàn)實(shí)的問題就是，如何對(duì)SDE進(jìn)行參數(shù)估計(jì)？就是，對(duì)于一個(gè)給定的含有參數(shù)的SDE，給出一些軌道，然后想要估計(jì)出參數(shù)的值來。比如已知一只股票的歷史價(jià)格數(shù)據(jù)，假定它服從GBM，怎么近似求出它的期望收益率

和波動(dòng)率 呢？

知乎上還沒有人專門討論過這個(gè)問題，最近看了幾篇這個(gè)主題的論文，所以我來拋磚引玉了。

問題的標(biāo)準(zhǔn)形式

對(duì)于含參的擴(kuò)散方程：

設(shè)

是擴(kuò)散過程的初值， 是標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)， 是待估計(jì)的參數(shù)。漂移項(xiàng) 和擴(kuò)散項(xiàng) 函數(shù)已知；參數(shù)向量 ，其中參數(shù)空間 是緊集。為保證解的唯一性，進(jìn)一步還要求漂移函數(shù)和擴(kuò)散函數(shù)是Lipschitz連續(xù)的。

擴(kuò)散問題參數(shù)估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)形式是：已知過程

的一系列觀察點(diǎn) ，且 ，根據(jù) 的值，得到參數(shù) 的估計(jì)。擴(kuò)散過程一定滿足馬爾科夫性，這給研究參數(shù)估計(jì)帶來了便利性。

極大似然估計(jì)法

面對(duì)參數(shù)估計(jì)的問題自然就會(huì)想到極大似然法，在矩估計(jì)不好用的時(shí)候，極大似然估計(jì)是點(diǎn)估計(jì)比較好的選擇。

由于給出的觀測點(diǎn)都是離散的，設(shè)

是在給定 時(shí)刻的位置 和參數(shù) 的條件下的轉(zhuǎn)移概率密度函數(shù)，從而我們有似然函數(shù)：

現(xiàn)在麻煩的事情是這個(gè)轉(zhuǎn)移概率密度怎么計(jì)算，有了它才能求似然解對(duì)不對(duì)！？

EML

事實(shí)上，轉(zhuǎn)移概率密度滿足如下PDE：

這個(gè)拋物PDE叫做Fokker-Planck方程，證起來比較麻煩。這個(gè)方程可是在物理學(xué)有廣泛的應(yīng)用的。（你看大名鼎鼎的 Planck 普朗克）

這么看，對(duì)于某些特殊的SDE，是可以從理論上求出轉(zhuǎn)移密度的解析解的，繼而可以精確求解極大似然函數(shù)。比如說對(duì)于CIR過程就是可以寫出解析形式的轉(zhuǎn)移概率密度。但是對(duì)于大多數(shù)SDE，根本沒有辦法解得這樣一個(gè)復(fù)雜的PDE的解析解，但是退一步，可以數(shù)值求解該P(yáng)DE，或者求出一個(gè)近似的解析解來代替真正的解。硬剛一個(gè)PDE確確實(shí)實(shí)可以解決咱們的問題，在一些論文里邊，這種方法叫做EML(exact maximum likelihood)。

但是硬剛PDE這種方法不好操作啊，理論艱深，操作困難，關(guān)鍵是咱學(xué)不會(huì)。那有沒有容易一點(diǎn)的方法？

DML

回憶一下SDE的兩種模擬方法：

• Euler-Maruyama方法：
• Milstein方法：

其中

是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。當(dāng)擴(kuò)散項(xiàng) 是常數(shù)的時(shí)候，這兩種方法是一樣的。

這兩種方法其實(shí)都是對(duì)SDE在一個(gè)區(qū)間上的離散近似，借助這種近似（Euler方法），我們可以認(rèn)為，從

到 轉(zhuǎn)移概率密度是均值為 ，方差 的正態(tài)分布密度函數(shù)，這里 ，也就是：

看樣子問題已經(jīng)有點(diǎn)眉目了，現(xiàn)在我們可以把這個(gè)轉(zhuǎn)移概率密度代入到似然函數(shù)去求解似然方程啦！

這種方法借助SDE模擬的離散形式近似估計(jì)轉(zhuǎn)移概率密度，因此稱作DML(discret maximum likelihood)。

下面以CIR模型來說明一下如何用DML來進(jìn)行估計(jì)和DML方法的效果，代碼全部是用MATLAB寫的。

一個(gè)生動(dòng)的參數(shù)估計(jì)的例子

CIR模型：

這里面有三個(gè)參數(shù)，

和 。記 ，通過解上面提到的似然方程可以得到三個(gè)參數(shù)應(yīng)該滿足的方程為：

一般來說，先通過第二、三個(gè)方程組得到

和 的估計(jì)量再代入到第一個(gè)式子得到 的估計(jì)?？偠灾?#xff0c;給到咱們一條軌道數(shù)據(jù)就可以求出相應(yīng)參數(shù)的估計(jì)值！！！

我們用MATLAB自帶的函數(shù)來生成軌道，MATLAB對(duì)CIR模型還是有一定的支持的：

model = cir(2, 1, 0.5, 'StartState', 1); [X, T] = model.simByEuler(100,'DeltaTime',0.01);

以上第一行代碼創(chuàng)建了一個(gè)cir類，三個(gè)參數(shù)分別是2, 1, 0.5并且起始點(diǎn)是1。第二行調(diào)用了這個(gè)類的simByEuler方法，以0.01s為時(shí)間間隔得到100個(gè)點(diǎn)，等于我們得到了一條[0,1]上以0.01為時(shí)間間隔的軌道！

接下來我寫了一個(gè)用DML方法給定一條軌道求CIR模型參數(shù)估計(jì)的函數(shù)：

% DML.m function [alpha, beta, sigma] = DML(X, T) % 使用DML方法根據(jù)采樣時(shí)間 T 和 位置 X 來估計(jì) CIR 模型的三個(gè)參數(shù)% 別看這里符號(hào)亂，其實(shí)就是解上面那個(gè)方程組，你自己也可以寫一個(gè) d = diff(T); A = sum(d); B = sum(X(1: end-1) .* d); C = X(end) - X(1); D = sum(d ./ X(1: end-1)); E = sum(diff(X) ./ X(1: end-1));beta = (B - C / E * A) / (A - C / E * D); alpha = E / (beta * D - A);sigma = sqrt( mean( (...(diff(X) - alpha * (beta - X(1: end-1)) .* d ) .^ 2 ./ (X(1: end-1) .* d)))); end

ok，三個(gè)參數(shù)的真實(shí)值還是取為2, 1, 0.5，我們用上面的那個(gè)cir類來模擬200條軌道，然后對(duì)結(jié)果求平均數(shù)：

DML_a = []; % alpha DML_b = []; % beta DML_s = []; % sigma for i = 1 : 200[X, T] = model.simByEuler(100,'DeltaTime',0.01);[alpha, beta, sigma] = DML(X, T);DML_a = [DML_a alpha];DML_b = [DML_b beta];DML_s = [DML_s sigma]; end

200條軌道得到了200個(gè)參數(shù)的估計(jì)值，其結(jié)果的分布如圖：

一開始看到這個(gè)結(jié)果我以為我代碼敲錯(cuò)了，因?yàn)?

的估計(jì)有不小的偏差，其真實(shí)值只有2，但是估計(jì)出來的結(jié)果很明顯不是以2為中心的，但是 和 的求解都需要依賴 ，而后面這兩個(gè)參數(shù)估計(jì)的效果還是不錯(cuò)的，尤其是 ，可以看到它的方差還很小。

DML估計(jì)法其實(shí)是個(gè)有偏估計(jì)，從上面的

是可以看出一點(diǎn)端倪的。

Conclusion

本文提出了一般形式的隨機(jī)微分方程的參數(shù)估計(jì)問題，對(duì)于其參數(shù)的極大似然估計(jì)方法提出了EML和DML兩種思路，并針對(duì)比較好實(shí)現(xiàn)的DML方法給出了CIR模型參數(shù)估計(jì)的代碼和示例。

接下來一篇文章我會(huì)分析DML方法的不足之處，并介紹一些能夠改進(jìn)DML方法的思路。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的参数估计_随机微分方程的参数估计（一）的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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