数学思维游戏两则：Gabriel喇叭、世界末日论
????看到新詞就上一下Wikipedia確實(shí)是一個(gè)好習(xí)慣。前一篇日志的那個(gè)pdf里作者提到了Gedankenexperiment(Thought experiment)，上Wikipedia一查果然學(xué)到了牛B的新東西。好多物理定律其實(shí)完全是由思維實(shí)驗(yàn)推導(dǎo)出來(lái)的，難以置信僅僅是思考竟然就能得出物理世界遵從的各種法則。經(jīng)典的物理思維實(shí)驗(yàn)有Newton大炮、Galileo斜塔實(shí)驗(yàn)、Schr?dinger的貓貓、Maxwell的妖怪等等。還有，Turing機(jī)也是一個(gè)偉大的思維實(shí)驗(yàn)。
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????數(shù)學(xué)上的不少悖論（特別是涉及到維度和無(wú)窮的悖論）都是相當(dāng)有趣的思維實(shí)驗(yàn)。Gabriel喇叭是y=1/x在[1,+∞)上的圖象沿x軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)體。這個(gè)簡(jiǎn)單的三維圖形有一個(gè)奇特的性質(zhì)：它的表面積無(wú)窮大，卻只有有限的體積。為了證實(shí)這一點(diǎn)，只需注意到：
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????Gabriel喇叭會(huì)導(dǎo)出一個(gè)非常詭異的悖論：如果你想用涂料把Gabriel喇叭的表面刷一遍，你需要無(wú)窮多的涂料；然而把涂料倒進(jìn)Gabriel喇叭填滿(mǎn)整個(gè)內(nèi)部空間，所需要的涂料反而是有限的。
????有網(wǎng)友一定會(huì)問(wèn)，那有沒(méi)有什么二維圖形，面積有限大，周長(zhǎng)卻無(wú)限長(zhǎng)呢？答案是肯定的，Koch雪花就是這樣一個(gè)經(jīng)典的例子。不過(guò)，通過(guò)分形構(gòu)造出來(lái)的這類(lèi)圖形似乎并不存在涂料悖論，因?yàn)檫f歸到一定深度時(shí)分形圖形的尺度將小于表面涂料的厚度，因此表面大小不能永無(wú)止境地算下去，涂滿(mǎn)表面所需的涂料不再是無(wú)窮多。當(dāng)考慮到涂料厚度時(shí)，原先的悖論也可以解釋清楚了：填充內(nèi)部空間僅僅涂滿(mǎn)了圖形的內(nèi)表面，一旦考慮到涂料的厚度，它和外表面的區(qū)別就出來(lái)了。
????另一個(gè)有趣的思維實(shí)驗(yàn)與世界末日論相關(guān)：我們可以通過(guò)數(shù)學(xué)算法“求”出世界末日在哪一天！！下面我們將用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)知識(shí)得出這一結(jié)論：人類(lèi)文明已經(jīng)發(fā)展到一半的概率達(dá)到95%。
????假設(shè)整個(gè)人類(lèi)文明史上一共誕生了N個(gè)人，而你是其中的第n個(gè)人。根據(jù)Copernican原理，假設(shè)把整個(gè)人類(lèi)文明看作數(shù)軸上[0,1]的線(xiàn)段，則你在這條“時(shí)間線(xiàn)”上可能處在的位置概率均等地分布在區(qū)間(0,1]中。下面我們?cè)?0,1)中取一個(gè)足夠大的數(shù)，比如0.95。那么，你發(fā)現(xiàn)自己處在人類(lèi)文明的(0.05,1]區(qū)間上的概率是95%，也即n/N > 0.05。整理一下，我們得到N<20n。如果我們?nèi)∧壳叭祟?lèi)文明的總?cè)藬?shù)n=600億，代入上式我們有N<12000億。我們得到這樣的結(jié)論：有95%的可能性，整個(gè)人類(lèi)文明共誕生了12000億個(gè)人。假設(shè)世界人口穩(wěn)定在100億，人的平均壽命是80年，那么剩下的11400億人將在9120年內(nèi)走完自己的生命。換句話(huà)說(shuō)，人類(lèi)文明在9120年內(nèi)滅亡有95%的可能性。這是一個(gè)驚人的數(shù)字啊！整個(gè)人類(lèi)文明已經(jīng)過(guò)了近萬(wàn)年，居然再過(guò)個(gè)這么多年就要結(jié)束了。
總結(jié)
以上是生活随笔為你收集整理的数学思维游戏两则：Gabriel喇叭、世界末日论的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。
