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無人機遂行編隊飛行中的純方位無源定位
摘要
關鍵詞

一、問題重述
1.1 問題背景
由于無人機集群在遂行編隊飛行時, 應盡可能的避免外界干擾, 因此需要盡可能的保持電磁靜默減少電磁波信號的發射.為保持編隊隊形, 擬采用純方位無源定位的方法調整無人機的位置, 即由編隊中某幾架無人機發射信號, 其余無人機被動接收信號, 從中提取出方向信息進行定位, 來調整無人機的位置.其中, 無人機所接收到的方向信息約定為：該無人機與任意兩架發射信號無人機連線之間的夾角.編隊中每架無人機均有固定編號, 且在編隊中與其他無人機的相對位置關系保持不變.
1.2 問題重述
本文將要解決以下幾個問題：
問題一：編隊由10架無人機組成, 構成圓形編隊, 其中9架無人機均勻分布在某一圓周上, 令一架無人機位于圓心.無人機基于自身感知高度信息, 均保持在同一高度上飛行.建立數學模型, 解決以下問題：
1、 位于圓心的無人機和編隊中另2架無人機發射信號, 其余位置略有偏差的無人機被動接收信號.當發射信號的無人機位置無偏差且編號已知時, 建立被動接收信號的無人機的定位模型.
2、某位置略有偏差的無人機接收到編號為FY00和FY01的無人機發射的信號, 另接收到編隊中若干編號位置的無人機發射的信號.若發射的無人機位置無偏差, 除FY00和FY01外, 還需要幾架無人機發射信號, 才能實現無人機的有效定位?
3、按編隊要求, 1架無人機位于圓心, 另外9架無人機均勻分布在半徑為100m的圓周上.當初始時刻無人機的位置略有偏差時, 每次選擇編號為FY00的無人機和圓周上最多3架無人機遂行發射信號, 其余無人機接收通過多次調整, 最終使9架無人機均勻分布在某個圓周上.其中無人機的初始位置如題所示.
問題二：當無人即集群使其他編隊隊形, 例如錐形編隊飛行, 其中直線上相鄰兩架無人機間距相等.設計純方位無源定位情形下, 無人機的位置調整方案.

二、問題分析
2.1 問題一思路分析
對本文提出的有關無人機定位問題，我們逐一做如下分析：
問題一主要圍繞十架無人機形成圓形編隊且保持同一高度飛行時, 通過若干無人機發射的信號實現純方位無源定位的問題, 那么此時只需要考慮平面上的圓周問題就可以了.根據問題一的假設, 剩下的九架飛機盡量均勻分布在圓周上, 對于位置準確的無人機, 其位置僅與無人機的編號有關, 而對于位置略有偏差的無人機, 他們距離圓心無人機的距離以及角度都是暫時不知道的. 我們需要對下述三種情況進行分析：
1、當位于圓心無人機（FY00）和編隊中已知編號且位置無偏差的兩架無人機發射信號, 建立被動接收信號無人機的定位模型. 對該問題, 我們有兩種想法進行求解, 一種是建立極坐標, 根據已知的方向信息, 按照被動無人機是否在已知無人機位置中間的情況劃分, 利用平面上三角形的正弦定理, 聯立方程, 得到最終的結果；另一種是利用三角測量定位法, 通過求解一個最小二乘問題求得無人機的位置.
2、與上一問相比, 該問題中我們無法得知除FY00和FY01外其余發射信號的無人機的編號, 無法直接利用三角測量定位法進行求解. 因此使用交叉定位方法進行求解, 我們逐一增加位置略有偏移的發射無人機的數目, 直到可以確定無人機的位置.
3、第三小問需要對初始時刻位置存在偏差的無人機的位置進行調整.由前兩問已知實現無人機的有效定位, 至少需要圓周上兩架無人機發送信號.由于發送信號的無人機位置存在偏差, 因此我們可以利用貪婪策略使得無人機每次進行位置調整的誤差最小.
2.2 問題二的思路分析
問題二是一個動態規劃問題.與問題一不同的是, 問題二的無人機一定在同一高度飛行, 因此, 我們需要利用動態規劃模型, 尋找使得無人機在調整過程中偏差盡可能小的方案.
三、模型假設
針對本文提出的問題，我們做了如下模型假設：
假設1：題目中的無人機略有偏差時, 還大體在理想位置, 不存在偏離超
過XX范圍的無人機；
假設2：假設每架無人機標號都是固定的, 且明確知道哪些無人機發射信號；

四、符號說明
本文常用符號見下表, 其它符號見文中說明

符號 符號意義
復數域內的自變量
復數域內的自變量
的復變函數
五、建模與求解
5.1 問題一的建模與求解
5.1.1 使用極坐標求解具體位置
假設圓周的半徑為, .以無人機FY00為極點, 以FY00為端點且經過FY01的射線為極軸建立極坐標系.不失一般性, 假設在圓周上的其中一架發射信號無人機為FY01, 轉化為極坐標后, 其對應的極坐標為 ). 由于發射信號的無人機都是位置準確的, 所以另一架發射信號無人機的位置是根據編號固定的, 編號為FY0K, 由于理想狀態下, 所有無人機均勻分布在圓周上, 則其對應的坐標為 , 其中.
接著, 假設接受信號的無人機的極坐標位置為 , 由于剩下無人機的位置略有偏差, 所以兩個參數都需要進行確定. 接著, 我們去假設它與三架發射信號的無人機的夾角. 假設與FY00、FY01之間的夾角為, 與FY00、FY0K之間的夾角為, 與FY01、FY0K之間的夾角為.接下來需要通過已知信息來確定出相應接收信號無人機的極坐標.
我們將略有偏差的無人機與確定的無人機位置相連, 利用正弦定理, 通過聯立方程組來解得極坐標 . 下面由于牽扯到角度, 還需要對K的不同值進行分類討論：
情況i）當K=2時, 兩個外圍確定的無人機之間沒有其他無人機：分布情況可視化如下圖5.1所示：

圖5.1 兩個外圍確定的無人機之間沒有其他無人機分布圖
由上圖5.1可知：若(綠色所示位置), 我們考察FY00、FY01、FY0K構成的三角形與FY00、FY02、FY0K構成的三角形, 根據正弦定理可得：
, （5-1）
由式（5-1）解得：
； （5-2）
根據圖5.1可知：若(藍色所示位置), 我們考察FY00、FY01、FY0K構成的三角形與FY00、FY02、FY0K構成的三角形, 根據正弦定理可得：
, （5-3）
由式（5-3）解得：
； （5-4）
情況ii）當K=3,4,5時, 我們需要根據的大小判斷有偏差的無人機是否夾在兩個確定位置的無人機中間：分布情況可視化分析如圖5.2所示

圖5.2 情況ii無人機分布情況可視化分析
圖5.2中：若 且此時無人機并不處于兩架飛機之間, 和上一種情況一致, 列出方程為:
（5-5）
解得：
； （5-6）
圖5.2中：若 且此時無人機并不處于兩架飛機之間, 和上一種情況一致, 列出方程為:
（5-7）
圖5.2中：若 時, 此時無人機并不處于兩架飛機之間, 我們考察FY00、FY01、FY0K構成的三角形與FY00、FY02、FY0K構成的三角形, 根據正弦定理可得：
； （5-8）
情況iii）當, 情況與11-K(1<K5)時相對應, 只需將1<K5時方程中的用替換即可.
5.1.2 三角測量定位法求解具體位置
在第1小問中，根據已知信息，我們可以利用基于角度的測量方法三角測量定位法求出無人機的定位。三角定位原理主要根據一個測量目標點以及兩個已知坐標的參考點可形成一個三角形，借助三角形中參考邊的長度，測量兩參考點與目標點形成的角度，即可找到目標點的距離及坐標。
根據題設，選定已知三個發射信號的無人機坐標分別為：FY00，FY01，FY0K，其中, 在本問中。則其三角定位模型如下圖5.3所示：

圖5.3 無人機分布三角定位模型
由于圓上弦所對圓上的角相等, 根據FY00，FY01的位置以及點與FY00、FY01之間的夾角為，我們可以繪制點的軌跡, 可以唯一確定一個以圓心的圓，設的坐標為，半徑為，其方程為
（5-9）
通過FY00，FY01都在圓上，以及三角形O1, FY00,FY11中關于O1處角的余弦定理, 可以得到如下方程組：
（5-10）
從而能夠求解出:與。
類似地，我們可以利用以及建立如下關系：
（5-11）
（5-12）
從而求解出與以及與，其解析解分別為：
（5-13）
（5-14）
（5-15）
由于點為三個圓的交點，為求得的坐標，我們聯立方程：
（5-16）
將上述方程展開，化簡后可得：
（5-17）
其中,，，
將上述方程記為：
（5-18）
此時求解目標點的坐標轉化為求解最小二乘問題：
（5-19）
其對應的解析解為：。從而建立被動接收信號無人機定位的數學模型，根據所接收的方向信息確定無人機的有效定位。
5.1.3 無人機有效定位分析
首先對于只有一架位置未確定的無人機發射信號時, 無法滿足我們需要的條件, 現在我們對于兩架飛機進行考慮。
由于第二小問中，圓周上發射信號的無人機除FY00, FY01外，編號均是未知的，因此，使用雙站交叉定位計算方法。設圓周上兩架發射信號的無人機為：FY0K1，FY0K2，其坐標分別為以及，其中，。為求出接收信號無人機坐標，我們考慮對下表所示四種發射信號的無人機情況分別使用三角測量定位法，可以得到接收信號無人機分別關于，，以及與的坐標表達式。由三者相同，可消去及，從而得到的具體方位，分類情況以及無人機編號如下表所示：
表5.1 分類情況

總結

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