前言：?

對于2022年來說，自己一直是處在一個比較焦慮的狀態當中，而這個狀態在我的寫博客的量中就可以很明顯的體現了：

而2022年的1月那會狀態其實沒有發生變化，一切的一切在于年后的2月中下旬，組織架構調整了，這塊其實在小程序高級電商前端第2周深入理解REST API開發規范 開啟三端分離編程之旅<二>----scroll-view組件的靈活應用、async和await問題探討、spu-scroll自定義組件、Lin UI Price價格組件應用、css編寫原則 密碼保護寫這篇時就已經說過了，也就是在這之后的半年里有效篇數就3篇。。當一個人在規律地在做著某些事時，突然間規律不見了，那說明這個人的心態大概率是因為某些事發生了巨大的變化，是的，我今年的心態就處于這種變化的狀態，其中最大的一個原因是公司的各種考核讓你沒有太多時間來寫博客了，因為考核不通過的直接結果就是末尾淘汰，當面對這種壓力時，其實就是兩種心態：一是擺爛、二是努力讓自己不被淘汰。那很明顯大多數人肯定是不會主動在這“疫情”期間來放棄收益來源對吧，所以為了不讓自己被淘汰就得平常花時間來準備考核的內容，其中大學數學是一個重點考試內容【種種的抱怨就不多說了，需要有正能量】，其實在去年就為了應付考試學習了大學數據的線性代數部分：

但是“高等數學”、“概率論與數量統計”這兩個方向缺失，最近一直基于網上的教程在惡補，高等數學的基本“看完”了，其中“看完”倆字加引號，嗯，僅僅就走馬觀花式地看，沒有任何輸出，因為“快”嘛，感覺又回到了N年前非常浮躁非常飄的狀態了，所以決定還是要有輸出，擯棄浮躁，于是才有了此篇的想法，希望自己能夠堅持下來，當職場遇到逆境時，盡量想辦法讓壓力化為動力，而不是一味的抱怨和逃避，因為抱怨只會讓自己整天活在陰霾當中越陷越深，當這種逆境中的動力產生之后，你在職場就會變得更加的抗跌，正能量也會充滿其身，所以，今年其它的學習計劃被打斷了木關系，我先開個專欄把高數這個先好好落實，畢竟要事為先，人生其實也就是被各種驚喜意外給充斥著，既來之則安之。

好，心靈雞湯就不撒了，我發現對于程序員而言，如果當你發現自己每天都過得非常焦慮，建議可以先從寫博客開始，讓自己先靜下來，寫得好與不好其實不重要，重要的是通過慢寫來讓自己能沉下心來。。。。不撒了，回到正題，這里的高數學習選的是普林斯頓微積分讀本，也就是長這樣：

至于為啥選它就不過多說了，反正從目錄來看貌似適合初學者，下面正式開始。?

函數：

關于函數的定義應該都比較熟了，尤其對于程序員的我們，這里主要是當一個復習吧，拿書中的一句話可以很好的說明為啥要把函數學好：
“不借助函數卻想去做微積分，這無疑是你所做的最無意義的事情之一。”

定義：

初步理解：

在數學里是這么定義函數的，“函數是將一個對象轉化為另一個對象的規則，起始對象稱為輸入，來自稱為定義域的集合。返回對象稱為輸出，來自稱為上域的集合。”

說實話這定義有點模糊，其實從程序員的角度對于函數的理解就是：“有一個輸入參數，通過調用某函數，最終再有個輸出”，當然這里不能完全按程序員的思想來理解，畢竟對于void的函數是木有輸出的。

對于數學定義的函數，拿一個簡單的函數來理解：y = f(x)，其中x為輸入，它的值是來自于定義域的集合，那啥叫定義域呢？給個例子就明白了：

好，繼續理解，對于y= f(x)中的y來說其實就是函數定義中的輸出， 它的值是來自上域的集合，那啥叫上域呢？這塊在下面就會進行說明，先不必過多地操心。

進一步理解定義：

由于函數是如此重要，所以書本舉了一些例子來加深對函數這個概念的理解，這里也把一些關鍵點過一下，還是有不小細節值得挖掘的：

定義域的理解：

1、舉例1：

假設定義這么一個函數：

其中這個函數的定義域（函數的輸入）和上域（函數的輸出）都是屬于?

，也就是實數，啥叫實數呢，我也不知道，百度百科：

那有理數和無理數又是啥，可以自行百度，這樣我們就可以將任何實數平方最終得到一個實數對吧，比如f(2) = 2 x 2 = 4、f(-1/2) = (-1/2) * (-1/2) = 1/4， 而有一個特殊的是：f(1) = 1，也就是輸入和輸出一樣，這個其實不影響，因為函數并不要求轉換后的對象一定有別于原始對象，這個小細節需要知道一下下。

另外，還有一個容易理解錯的就是：f(2) = 2x2 = 4，它意味著f 將2 變成4了，其中的f是一個變換規則，而f(x)是把這個變換規則應用于變量x后得到的結果，所以說“f(x)是一個函數”是不正確的，應該說“f是一個函數”。

2、舉例2：

這第二個例子其實闡述的東東比較簡單，但是你需要明白這個細節，這里看一下這個函數：

這跟上面例1的函數不是一樣的式子么？是的，但是這里的定義域發生變化了，它的定義域只包含>=0的非負數，而上面例1的定義域是屬于實數，正因為定義域的不同，才導致對于例1中的f(x)和這里的g(x)看似一樣的函數其已經產生不同了，比如x取一個負數-1/2，對于f(x)=1/4沒問題，但是！！！g(x)卻是沒有定義的，因為該函數g的定義域必須是>=0，所以函數g會拒絕非其定義域中的一切數，這樣就有一個總結了：

由于g和f有相同的規則，但g的定義域小于f的定義域，因此我們可以說g是由限制f的定義域產生的。

3、舉例3：

這個例子其實還是在例2的基礎上，對于函數的定義域的合法性進一步鞏固，這里也來簡單看一下，比較好理解：

還是例1的函數形式：

那“f(馬)”是啥呢？很明顯是無定義的，因為你是不能平方一匹馬的對吧，但是如果定義這么一個函數其實就可以輸入馬了：

其中h的函數的定義域是所有動物的集合，所以很明顯可以有：h(馬) = 4，h(螞蟻)=6，h(鮭魚)=0，由于動物的腿不可能是負數或分數，所以很明顯h函數的上域（這個概念之后就會解釋到，目前簡單理解就是輸出值）是所有非負整數的集合。

h函數的定義域由于是所有動物的集合，所以很明顯h(2)是無定義的，那h(椅子)呢？貌似h(椅子)=4呀，這里由于椅子沒在定義域動物當中，所以h(椅子)也是無定義的。

4、舉例4：

這個書本上舉的例子就一點點惡心了，不過可以很好的說明一個問題，下面過一下：

假設你有一條狗，名字叫Junkster，它不幸患上了消化不良癥，表現就是每次吃點東西嚼一會兒試圖消化食物時，都會全吐出來，所以可以擬一個函數為：

其中函數j的定義域是Junkster所吃的食物的集合，其上域是所有顏色的集合，那么就必須認為如果Junkster吃了玉米面卷，它的嘔吐物始終是一種顏色（假設是紅色的），這個是符合函數的定義的，但是！！！如果它的嘔吐物有時候是紅色的，有時候又是黃色的，那么此時就不滿足函數的性質了，也就是需要記住：“一個函數必須給每一個有效的輸入指定唯一的輸出”。

【總結】：

?好，通過上面四個例子的學習，應該對于函數的定義域是比較清楚了，這里再來簡單歸納一下核心：

1、f(x) = y，其中函數指的是f，而不是f(x)；

2、由于g和f函數有相同的規則，但是g的定義域小于f的定義域，這時我們可以說g是由限制f的定義域所產生的；

3、不在定義域的值，最終的輸出是無定義的；

4、一個函數必須給每一個有效的輸入指定唯一的輸出；

上域、值域的理解：

接下來則來理解上述函數定義中所產生疑問的“上域”的概念了，說到上域，其實還有另一個我們耳熟能詳的概念，那就是“值域”，關于這兩者的區別，這里用書上的來描述一下：“值域實際上是上域的一個子集，上域是可能輸出的集合，而值域則是實際輸出的集合?！?#xff0c;是不是這定義還是有點懵，沒關系，下面針對上面定義域的理解中所舉例的函數一一來寫出它們的值域和上域，這時你就會明白了，也是比較簡單的：

1、對于

，由于定義域和上域都是實數，而根據值域的定義它是實際輸出的集合，那很明顯任何數的平方肯定是非負數對吧，比如，結果都等于2，所以可以看出值域確實是上域的一個子集。

2、對于

,其定義域是非負數，上域還是實數，很明顯值域也是非負數的集合。

3、對于

定義域是所有動物的集合，它的上域是所有非負整數的集合，而值域應該是任何動物可能會有的腿的數目的集合，通常是一個偶數，但是也有可能動物有奇數條腿，這塊要列全可能你得是一個生物學家~~

4、對于

，其定義域是Junkster所吃的食物的集合，其上域是所有顏色的集合，而值域就是會包含所有可能的嘔吐物的顏色。

總之，你要知道值域是上域的子集。

區間表示法：

這塊就比較簡單了，在我們編程時也經常能遇到，比如開區間，閉區間等， 這里看一下圖就明白了：

其中我們常見的是這種表示法：

但是也要記得還有另一種表示方法：

求定義域：

有時候，函數的定義中是已經指明了定義域了，比如上面的這個函數：

但是！！！在大多數的情況下，函數的定義域是沒有給出的，是需要自己來求出來的。通常定義域就是包括實數

轉存失敗重新上傳取消集盡可能多的部分，這里舉一個這樣的函數：

你覺得函數k的定義域是啥，全部實數么？這里的思考關鍵在于它：

也就是得要知道平方根的規則，這塊貌似是初中的知識，我想應該很多人都已經忘得差不多了，百度了一下重溫下中學時光，貼一個圖：

也就是這個開根號中的a必須是非負數的，看了一下百科對于算術平方根的定義也特別提到了這個條件：

那么為啥只有非負數才有算術平方根呢？其實也很好理解，因為任何實數的平方的結果都是非負數對吧，那么再對這個非負數的結果開方很明顯不可能是負數的，另外這里再復習一下它跟平方根的關系，再次利用度娘：

也就是算術平方根是平方根的一種特例，好，現在我們已經對于算術平方根的規則清楚了，所以對于

函數，很明顯此時函數k的定義域為[0, ∞)，也就是>=0的所有實數的集合，這里就是通過平方根的一個規則來推出了函數的定義域了，這里其實也就道出了如何求函數定義域的一個方法了，其實還是利用你之前所知的數學規則進行推算出來的，以下幾種是常見會出問題的數學規則：

• 分數的分母不能為0；【這個人人皆知】
• 不能取一個負數的平方根（或四次根、六次根，等等）；【這個剛才已經詳細解釋過了】
• 不能取一個負數或零的對數；
  關于這個書本上作者已經預感到大家都已經忘記這條規則了~~所以提示可以看他第9章的基礎補習，嗯，很明顯我是完全不知道了，移步到9章里回顧一下【數學是一門非常嚴謹的學科，當在學習中遇到某個知識點遺忘了，一定要花時間給補回來，不然會越學越學不懂~~借學高數的機會再重新整體一下大腦中的數學知識體系也是一個挺有價值的事~~】：
  比如這么一個方程：
  
  此時就需要使用對數函數了，其結果就是：

  那如果是：

  很明顯此時的x=3嘛，而這個x又可以以對數的形式來表示，所以就可以得到：，所以這里就可以用對數來表示指數的形式了，如下：

  好，接下來就是回到核心的“不能取一個負數或零的對數”的理解上來了，這里假設b是負數，看有啥問題，可能就會沒有定義，比如：b=-1且x=1/2，那么==，而它已經違背上面我們已經證明的這一條了：

  所以，為了避免這樣的問題產生，就需要要求b > 0，所以也一定是正的對吧，如果，那么一定會有y > 0，好核心推論點就出現了：

  ?很明顯圖中b中的冪次就不可能是一個負數或0對吧，所以你只能取一個正數的對數（b>0且y>0）。?

• tan90度是一個不存在的值；這塊可能也忘了，先看一下tan的公式你就明白了：tanx=sinx/cosx，當x=90°時，即tan90°=sin90°/cos90°=1/0，分母是不能為0的，所以不存在tan90°，其實它就是上面的第一種分母為0的情況對吧，比如好理解。

綜合實踐：

好，接下來來一個綜合求定義域的例子，如果你能把這個函數的定義域，那么這塊知識點就算過關了，如下：

其實算定義域特別簡單，就是套數學上哪些規則不允許，解一元一次不等式組，對于這個函數右邊的式子其實就有這幾個不等式：

1、根據“不能取一個負數或零的對數；”這一條規則，就有：

其中x+8 > 0，也就是x>-8；

2、根據“不能取一個負數的平方根”這一條規則，就有：

其中26-2x>=0，也就是x<=13；所以結合第一條的條件，此時x的取值就是(-8, 13]。

3、根據“分數的分母不能為0；” 這一條規則，就有：

(x-2)(x+19) != 0，所以就有x !=2且x!=-19， 而根據目前x的取值是(-8, 13]，x!=-19就不存在了，最終我們就找到了函數f的定義域為：除2以外的集合(-8, 13]，這種集合用一個專業表示可以為：(-8, 13] \ {2}，這里的反斜杠表示“不包括”。

利用圖像求值域：

在上面，我們已經知道了函數的定義域的求解方式了，接下來則來看一下函數的值域是如何求的，書中舉了兩個函數：

，它的定義域為[-2, 1]，,它的定義域是所有的實數，那請問下這倆是同一個函數么？當然不是，因為定義域不一樣，這個在上面已經舉個類似的例子了。

那對于F函數，你知道它的值域是多少不？既然它的定義域為[-2, 1]，我們可以將這之間的每一個實數進行平方就可以求解出F函數的值域了，很明顯是[0, 4]，注意不是[-2*(-2)=4, 1 * 1 = 1]喲，利用自己心算基本也能算出來函數的值域，但是！！！這個是學習如何利用圖像來求一個函數值域非常好的機會，其思想就是：畫出函數的圖像，然后想像從圖像的左邊和右邊很遠的地方朝向y軸水平地射入兩束亮光，曲線會在y軸上有兩個影子，一個在y軸的左側，一個在y軸的右側，而值域就是影子的并集，也就是說如果y軸上的任意一點落在左側或右側的影子里，那么它就處于函數的值域中，下面直觀的看一下圖：

當圖像畫出來之后，你可以看到左側的影子覆蓋了y軸從[0,4]的所有點：

而右側的影子覆蓋了y軸從[0,1]的所有點：

那么取兩者的并集就是[0, 4]：

所以通過這種直觀的函數圖像也是一種求函數值域的辦法，但是你或者會問，函數不可能都是這么一種呀，那其它函數的圖像大腦中沒有印象，用這種方式貌似要求有點高啊，其實關于函數的圖像在之后的章節就會專門學到：

而且在12章中還會學習繪制函數圖像的各種技巧：

所以不必擔心，現在先知道函數的圖像其實對于解題也是很有用的就夠了。

垂線檢驗：

什么是函數的圖像？

在上面我們也已經領略到了函數圖像在解題的作用了，非常重要，因為它能讓你知道函數大概長什么樣子，所以這里先來認識一下函數圖像的定義，這里從兩個角度來概述：

角度一：函數f的圖像是指它是所有坐標為(x, f(x))的點的集合，其中x在f的定義域當中；
角度二：我們以某個實數x開始，如果x在定義域當中，就可以畫點(x, f(x))，當然這個點在x軸上的點x的正上方，高度為f(x)；如果x沒有在定義域當中，則不能畫任何點。然后對于每一個實數x，我們重復這個過程從而構造出函數的圖像。

上面這概念了解一下既可，其實就是各個坐標值的連線就構成了函數的圖像。

何為垂線檢驗？

定義：

先來看一下數學定義：“如果你有某個圖像并想知道它是否是函數的圖像，你就看看是否任何的垂線與圖像相交多于一次。如果是多于一次則它不是函數的圖像，反之則是函數的圖像”。

理解：

光看這定義肯定有點懵，其實理解的關鍵核心在于：利用這個垂線檢驗的目的就是為了判斷某個圖像是否是函數的圖像對吧，而怎么來檢測呢？主要是圖像中有木有兩個點對應一個x坐標值，如果有，很明顯這倆點的連線是垂直于這個x坐標的，而根據函數的定義：“一個函數必須給每一個有效的輸入指定唯一的輸出”，也就是一個輸入只能對應一個唯一的輸出，很明顯這種情況違背了函數的定義了，那么這種情況就可以說這個圖像不是函數的圖像了，因為圖像中存在一個輸入有2個輸出的情況，反之，則說明該圖像就是函數的圖像。

舉例說明：

在了解了定義之后，下面再來借著例子來理解一下，這樣就比較清晰了。

這里先來畫一個“以原點為中心，半徑為三個單位的圖的圖像”，這個比較簡單，圖如下：

它的函數方程應該是這樣的：

【這個是根據圓的方程公式來的：所表示的曲線是以O(0，0)為圓心，以r為半徑的圓；】，那你認為這個圖像是方程的圖像么？不知道，所以用垂線檢驗的方式來檢測一下，也就是在圖像上畫垂線，如下：

其中可以發現在-3的左邊或3的右邊都沒有問題，垂線木有出現有兩個點交于圓的情況，這個很好；而在-3和3上垂線和圖像也僅僅只有一次相交，也比較好；問題就是出現在區間(-3,3)上了，垂線通過(x, 0)和圓都相交兩次：

那這就不符合函數圖像定義了，因為你不知道f(x)到底是對應上方的點還是下方的點對吧。

而要想讓它成為函數，有兩種方式：

1、把圓分成上下兩個半圖，只選擇上一半或者下一半，由于整個圓的方程是

，那么上半圓的方程就為：

?而下半圓的方程為：

很明顯這兩個就是函數了，其定義域為[-3, 3]，因為用垂直檢驗的話，與半圓相交只有唯一的一個點。

2、還有一種方式，就是把圓的圖像做一個改動，如下：

也就是只要避免一條垂線與圖交于2個以上點，其圖像就滿足函數圖像了。

反函數：

接下來學習一下反函數，這個在之后也會大量被運用到，先來理解書本上的第一句話：

假設有這么一個函數f，給一個在定義域的x輸入，就能得到一個輸出f(x)對吧，現在把過程返過來描述：如果你選一個實數y，那么應該賦予f函數什么樣的輸入才能得到這個輸出y呢？

這里的關鍵點有兩個，需要理解一下：

1、y必須在f函數的值域當中，因為它是輸出嘛，而值域剛好是所有的可能輸出，這個比較好理解；

2、如果y在值域當中，有可能會有很多值都滿足f(x) = y，比如

，其定義域是實數，那問一下x取何值時會輸出64？很顯然有兩個值：8和-8；但是也有可能僅有唯一的值能滿足f(x) = y，比如，同樣的問題x取何值時會輸出64，此時只有一個x值就是4。

定義：

好，接下來就可以給反函數來一個正式的定義了：給定一個函數f，在f的值域中選擇y，在理想狀況下，僅有一個x值滿足f(x) = y，如果上述理想狀況對于值域中的每一個y來說都成立【也就是如果x取值不唯一的話就不滿足這個理想狀況了】，此時就可以定義一個新的函數，它將逆轉變換，從輸出y出發，這個新的函數發現一個且僅有一個輸入x滿足f(x)=y，這個新的函數就稱為f的反函數，記作

對上這個文字概念可以有一些抽象，下面以數學語言對其再總結一下：

1、從一個函數f出發，使得對于在f值域中任意y，都只有唯一的x值能滿足f(x) = y，也就是說，不同的輸入對應不同的輸出，那么我們就可以定義它的反函數

；

2、

的定義域與f的值域相同；

3、

的值或和f的定義域相同；

4、

的值就是滿足f(x) = y的x，所以如果f(x)=y，那么?= x；

書中最后用一個比較形像的例子對函數與反函數的關系進行了一個闡述,還挺貼切的：

變換

就像是f函數的撤銷按鈕：如果你從x出發，并通過函數f將它變換為y，那么你可以通過在y上的反函數來撤銷這個變換的結果，取回x。

好，現在通過這個定義對于反函數有了一定的了解了，但是還是有如下的一些疑問會存在：

1、你如何知道只有唯一的x值滿足f(x) = y 呢？

2、如果求得一個滿足疑問一的函數的反函數呢？

3、反函數的圖像又會是什么樣了呢？

4、如果一個函數不滿足疑問一的唯一性，那么有木有一些挽救的措施？

以上答案，在接下來的學習中就會一一揭曉~~

水平線檢驗：

對于上面提到的第一個疑問：

其最好的方法也是來看函數的圖像，那怎么知道對于f函數值域中的任意一個y，只有一個x值滿足f(x)=y呢？下面來挼一下思路，這個思路是引出水平線檢驗的一個關鍵：

我們想要在f函數的值域中選擇一個y，并且希望只有一個x值滿足f(x) = y ，那就意味著通過點(0, y)的水平線【還記得在上面我們檢查函數圖像是否正確用的是垂直線不？如忘了可以往上再溫習一下】應該和圖像只有一次相交，且交點為點(x, y)，那么此時的x就是我們想要的值；如果說水平線與函數的圖像相交多于一次，是不是對于一個y，有多個x值對應？那這種情況是不符合反函數的定義的對吧，所以這種情況是比較糟糕的，但是在后續我們可以針對這種糟糕的情況限制定義域也可以讓它有反函數，這個之后再說；還有另一種情況就是水平線跟函數圖像壓根就不相交，很明顯這種代表y根據就沒有在值域當中，不在反函數的討論范圍。

基于上面的思想梳理，對水平線檢測就可以進行描述了：如果每一條水平線與一個函數的圖像相交最多一次，那么這個函數就有一個反函數；相反如果相交有多于一次，那么這個函數就木有反函數，這里的要點是：

1、函數滿足圖像的定義，這里就可以用上面的垂線檢驗辦法來檢驗；

2、水平線與圖像相交，只有一個交點；

比如下面這兩個函數的圖像：

很明顯圖左邊的函數f有一個反函數，因為沒有一條水平線和y = f(x)相交大于一次對吧，而對于圖右邊的函數g它是沒有反函數的，因為有一些水平線和y=g(x)相交于兩次，這是從圖像的層面來看的，而用一個角度也可以推出該函數是沒有反函數的，那就是：

如果通過

來求解x，很明顯會出現兩個解對吧：，這是不符合反函數的定義的。

但是，還記得在上面說過這么一句話么？

所以，對于圖右側的，如果你嘗試限制一下定義域，其函數也是有反函數的：

這個情況之后再來探討。

求反函數：

接下來再來解決上述疑問的第二個：

其實需要要寫下y = f(x)，然后試著解出x既可，比如函數

，要求它的反函數，如下：

1、寫成y = f(x)的形式，也就是：

，此時就可以求出x=?

2、然后就有如下等式：

，為啥呢？這里回顧一下反函數的特性：

3、由于

中的y變量看著有點別扭，所以可以直接將它替成x，也就是為：

也就是求一個原函數的反函數，就是將它寫成y=f(x)的形式，求出x，最后在原函數的右上角標一個-1，然后等于這個x既可，這塊說實話有點不是很好理解，可以好好揣摩一下。?

但是！！！實際上并非所有的函數都可以輕松地求解出x來，這時則可以通過函數圖像這個角度輕松的將其反函數給繪出來，基本思想就是在圖像上畫一條y=x的直線，然后將這條直線假想為一個雙面的鏡子，反函數就是原始函數的鏡面反射，就比如剛才我們舉例求原函數的反函數的例子，它們之間在圖上的關系如下：

原函數f在y=x這面“鏡子”中被反射，從而得到它的反函數了，注意：f和

的定義域和值域都是整個實軸。這樣就解決了疑問三的問題了：

限制定義域：

接下來解決疑問三的問題：

在上面舉過這么一個函數的例子，它是不滿足水平線檢驗的對吧：

也就是說函數g木有反函數，但是！！！我們可以限制函數的定義域，讓其也可以有反函數，如下：

也就是將該曲線的定義域由(-∞,+∞)縮減為[0,+∞)之后，就滿足水平線檢驗了，所以此時該函數就變成有反函數。也就是定義在定義域[0,+∞)上的函數h的反函數，其中

，下面咱們使用剛才所學的鏡面反射來看一下該反函數到底長啥樣？

為了找到反函數的方程，我們必須在方程

解出x，很明顯此解有兩個：

那我們需要哪一個解呢？根據反函數的特性：

很明顯我們只需要非負數的解，即：

，也就是說：

此時的圖像就如：

最后，咱們看一下沒有通過水平線檢驗的定義域在(-∞,+∞)的原始函數

，如果在鏡子y = x中進行反射，其實它會得到這么一個圖像：

很明顯該圖是不會通過垂線檢驗的，也就代表它不是函數的圖像，這也從另一個角度證明它是沒有原函數的，此外還可以說明垂線檢驗和水平線檢驗之間的聯系就是：水平線被鏡子y=x反射后會變成垂線。

反函數的反函數：

這個理解起來就比較麻煩，但是呢在之后的學習中又會用到，所以，還是一點點來啃它。

如果對于一個函數f它有反函數，那么對于在f定義域中的所有x，都有這個等式成立：

，這個應該好理解，因為f(x)=y，根據反函數的這個特性就可以得出這個等式了：

同樣對于在f值域當中的所有y，都有

，因為f的值域和的定義域相同，所以對于f值域中的y，我們就可以取到，也就是：

對于上面這個理論理解起來可能還是有點抽象，下面舉個例子再來理解一下：

比如函數

，它的反函數為：【這塊如果覺得求解起來有點模糊，建議好好再溫習下反函數的知識，這塊未來會經常用到】，

那令x=f(x)，代入

式子中，是不是就有，也就是在上面在反函數的反函數所說有等式：

還記得在上面說過反函數就像是一個撤銷按鈕么？回憶一下：

也就是我們使用x作為f函數的輸入，然后給出輸出到

反函數上，這撤銷了變換并讓我們取回了x這個原始的數，這樣的視角能夠加深對反函數的理解。比如：最終就是求得了y對吧，所以：是f的反函數，且f是的反函數，換言之，反函數的反函數就是原始函數。

小心有限定義域的反函數的反函數：【是不是念這句話舌頭會打轉~~】

最后再來討論一下這個函數的反函數的反函數：

，根據之前所學，這個函數是需要限制定義域才會有反函數對吧，回憶一下：

假設我們把定義域限制在[0,+∞)，當時我們是稱函數h有反函數對吧【上圖中也可以看到】，也就是在限制作用域之后的函數名不用g了，而是h，但是！！！這里假設粗心，我們就把g函數看成它有反函數，看會有啥問題？我們先求得g函數的反函數為：

，此時再求它的反函數，你會發現它是【如果這一步看不懂，用代入法代到這個函數中你就懂了：】，也就是等于x對吧，其中x>=0。那你看出啥問題了么？是反函數的反函數應該等于原函數它呀，但是現在的結果是x，很明顯是不對的，這是因為是故意看錯了函數了，g是沒有限制定義域的。

換另一個視角，解這個反函數的反函數：

【注意：它跟是不一樣的喲】，此時會得到，是不是它也違背了“反函數的反函數是原函數”的規則？照理的呀，這里也能說明沒有限制定義域的g函數是沒有反函數的，由于我們粗心地將其看成g函數了，它沒有限制定義域，那我x=-2，此時，所以就不成立了，不成立的根本原因在于-2沒有在g的限制定義域[0,+∞)中對吧。

以上說了一大堆，其實是為了說明：我們應該使用函數h，而不是函數g，也就是對于有限制定義域的函數，我們需要改變函數的字母！！！就拿我們所用的函數例子，

如果不限制定義域是不是沒有反函數？那如果限制定義域[0,+∞)之后，就不能說g有反函數了，要給函數字母更改一下，比如更改成h，說h有反函數，這樣改名是可以避免自己出錯的一個手段，但是！！！實際數學家們在限制定義域時經常不會改變字母，所以把這種情形總結如下：

如果一個函數f的定義域可以被限制，使得f有反函數

，那么：

對于f值域中的所有y，都有

,但是！！！可能不等于x，而事實上僅當x在限制的定義域中才成立。

簡單來說，對于有限制的函數，其在進行反函數的求解時，一定是要基于限制的定義域才行，不然結果就會不符合反函數的規則，記住這點就成！！！

總結：

今天先學到這，純復習了，對于我來說其實都是全新的，小學水平，因為都不知道，然后所有的內容都是基于書本上來的，也有一些文字是直接摘抄的，但是對我而言，帶著思考的抄寫也是一種輸出，能夠加深對知識的理解，總之經過這么一篇，收獲還是蠻大的，彌補了很多之前的數學基礎，堅定用這種方式一步一個腳印地來把整體書給啃完，也希望用這篇讓自己今年的狀態回歸正常，不再一直身處焦慮當中了【作為jay迷，居然還沒認真去聽最近周杰倫時隔6年新出的專輯的歌曲，天天就是各種忙，所以必須調整自己目前的狀態，先把jay最偉大的作品好好品嘗品嘗~~】，加油！！！

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的普林斯顿微积分读本第一章--函数、反函数的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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