編程實現函數圖像繪制：

在上一次普林斯頓微積分讀本02第一章--函數的復合、奇偶函數、函數圖像咱們對于函數相關的知識進行了全面的鞏固，其中發現在研究函數時其它的圖像是一個非常重要的研究點，在之前學習線性代數時會用python來實現相關的數學問題，那么在繼續往下學習之前，也同樣嘗試用python編程來實現函數圖像的繪制。

新建文件：

這里回到PyCharm中，新建一個文件：

函數圖像生成：

下面挑幾個我們在上次書中所學的幾個函數為例進行編程圖像的生成：

函數一：

先來看一下書本上所畫的圖像：

具體實現：

1、生成x軸的點：

其運行結果可以看到x就是一堆數的集合，也就是生成了50個點：

其中關于Numpy庫在當時學習線性代數時大量使用了，這里就不過多介紹了。

2、生成y軸的點：

這里其實就比較簡單了，y=x^2，那就是：

3、生成圖像：

接下來生成圖像就比較簡單了：

其實也就是將各個坐標點連接起來就形成了一個曲線，如果我們把點的個數減小，那么線就會變得不那么平滑了，如下：

再運行：

其中生成圖時我們還可以給圖指定尺寸，如下：

函數二：

先來看一下書本上的圖像：

下面來實現一下，基本這里只需改變x，y的生成規則既可，如下：

是不是跟書本上的生成圖像是一樣的。

函數三：

先來看一下課本上的圖像：

同樣的，這里只改變y的規則，如下：

運行結果：

這里我們可以設置一下y軸的值的范圍，1萬太大了，在python中可以這樣設置：

這樣，使用python就可以很輕松地繪制函數的圖像了，等下面三角函數復習完之后，到時再來用它來繪制三角函數相關的圖像。

三角學回顧【重要】：

概述：

關于三角函數，其實不光是在學高數很重要，我記得之前學習Android的圖形繪制時經常會用到它們，比如：QQ氣泡效果剖析 - cexo - 博客園，當然只要是研究數學相關知識或多或少都得要這部分的基礎，當然如書本所說：“一開始學微積分時可能不會碰到很多有關三角學的內容，但是！！！當它們一出現，如果你基礎不夠好，那就學著會非常吃力”，所以，完整的回顧一下這個三角學的知識是非常有必要的。

基本知識：

弧度：

首先先從弧度概念開始，一個圓一周總共有360°對吧，但是我們通常會說成2π弧度喲，這是因為半徑為1個單位的圓的周長是2π個單位：

圖中這個圓的一個扇形的弧長就是這個扇形的圓心角的弧度，突然讓我想到當時在寫給之前繪制的餅狀圖增加點擊擴大突出效果 - cexo - 博客園這篇時就用到了弧度的概念，也就是需要知道角度和弧度是可以相互轉換的，這里需要知道這么幾個常用的角度對應的弧度：

1、90°=π/2；

2、180°=π；

3、270°=3π/2；

知道了這三個之間的關系之后，咱們就可以在下圖中所有的角與弧度之間進行來回轉換，如下：

而弧度轉換度的轉換公式也需要記一下：

用弧度度量的角 =?π/180 * 用度計量的角

比如：5π / 12弧度它對應的角度是多少呢？套公式計算如下：

5π / 12 =?π/180?* 用度計量的角，轉換一下就有：

用度計量的角 = (180/π) x (5π / 12) = 75°。

其實將弧度和度的轉換可以看成是一種單位的轉換，轉換因數就是π弧度等于180°，像之前這塊就在Android 繪制這塊就應用到了：

不過這塊的知識也不用記，到時現查就可以了，比較簡單。

三角函數：

目前我們已經回憶了角的一些概念了，接下來則需要加憶三角函數了，假設我們有一個直角三角形，除直角外的一角被記為θ，那么就有這么一個圖像：

所以這三個基本公式就出來了，這塊應該都不會忘：

其實還有另一種圖像：

這塊就不過多說明了，比較簡單。

倒數函數：

通常我們也會用到余割、正割和余切這些倒數函數，如下：

常用角的三角函數值：

你知道sin(π/3)、tan(π/4)的值是多少么？如果你不知道，最好是要能熟記一下下面的表的對應關系：

其中表中tan(π/2)的星號是無定義的，也就是對于表中的0、π/6、π/4、π/3、π/2都是非常常用的，是必須要掌握的，當然你如果記不住到時當個備忘回來查一下也成，我是記不住的，知道有這么一張表就成了。

也就是在未來你需要能回答以下兩類問題：

1、sin(π/3)是什么？有了上面這張表，答案就是：

2、介于0到π/2，其正弦值為

的角是什么？有了上面張表，答案就是π/3。

書中是強烈建議木事就背一背這表：

但是對于工作中的我們，其實沒必要背， 你只需要在大腦中有這么一個對應表就成，到時回頭查一下，畢竟我們不是為了應試考試用的。

擴展三角函數定義域：

概述：

在上面的表中，僅僅是包括介于0到π/2的一些角對吧【也就是定義域是介于0到π/2的】，事實上我們可以取任意角的正弦或者余弦，對于正切，除了π/2是無定義的，其它角的正切也是可以求的，所以接下來我們需要擴展三角函數的定義域了，擴展的邊界先放到0到2π的角【之后還會擴展這個區域的】，為了方便研究，先來引出一個比較古怪標記的坐標平面：

其中坐標按逆時針將平面分成了四個象限，分別稱為第一象限、第二象限、第三象限和第四象限，

假設我們取某個角θ,或許它在第三象限的某個地方，如：

注意，此時我們是將這條射線稱之為θ，而非角，然后在這條θ取某一個點：

我們對這三個量比較感興趣：該點的x坐標、y坐標、以及該點到原點的距離r。其中x,y有可能為負（事實上目前舉例的場景是都為負的），而r是永遠大于0的，因為根據畢達哥拉斯定理（既勾股定理）：

很明顯斜邊r的距離為：

而平方是會消去負號的，所以r的值肯定是大于0的。

于是我們就可以定義如下三個三角函數了：

如果你在這條射線上選取了另外一個點，那又會是什么樣子呢？其實這個是沒關系的，其比值是不會變的。事實上，為了方便起見，我們常常設定r = 1，這樣得到的點（x, y）就會落在所謂的單位圓（就是以原點為中心，半徑為1的圓）上。

實踐:

接下來舉一個具體的例子，比如我們想求sin(7π/6)，按上面的求解規則如下：

1、先確定7π/6是在第幾象項？

由于1<7/6<3/2，故π<7π/6<3π/2，所以它處于第三象限：

2、選擇射線上一點，該點至原點的距離r = 1，并從該點至x軸做一條垂線：

?此時根據三角函數可以有如下式子：

而由于r=1，所以sin(Θ) = y，接下來則需要求出y對吧，這里需要引出參考角的概念了，也就是7π/6和π之間的角就是參考角，一般來說，Θ的參考角是在表示解Θ的射線和x軸之間的最小的角，如下：

此時我們就可以求出y點的值了：y = sin(π/6)，那這個值是多少呢？之前的那張表就可以搬出來參照了：

也就是y = 1/2，注意由于第三象限的y是負數，所以y=-1/2；

接下來還差x值木有求出來，根據余弦，很容易就可以求得x = cos(π/6)，再查表，它就等于：

而由于第三象限的x值也是負數，所以：

，最終我們就此點的坐標為：

ASTC方法：

概述：

在上例中的關鍵是將sin(7π/6)和sin(π/6)聯系起來，其中π/6是7π/6的參考解，事實上，任意角的正弦就是其參考角正弦的正值或負值，這樣我們在計算時又可以進行簡化了（像上面需要計算出x,y，或r，太麻煩了），因此，在上面的例子中只需要求出參考角π/6就會立即可知sin(7π/6)等于sin(π/6)或-sin(π/6)，而對于正負的選擇根據實際在的象限來決定，由于我們舉的那個例子是在三象限，很明顯y是負的，那么就選-sin(π/6)。

那么現在的問題就在于哪些象限對于三角函數它的正負性了，這就引出ASTC方法了，這個方法總結在一個圖里：

解釋一下該圖：

1、所有三個函數在第一象限(I)中均為正,所以用字母A來表示“全部”的意思；

2、所以三個函數在第二象限(II)中，只有正弦為正，所以這里記成S，代表正弦（sin）；

3、所以三個函數在第三象限(III)中，只有正切為正，所以這里記成T，代表正切(tan)；

4、所以三個函數在第四象限(Ⅳ)中，只有余弦為正，所以這里記成C，代表正切(cos)；

用這種方式，對于我們上面舉的sin(7π/6)它因為在三象限，所以為負，所以等于-1/2。

使用總結：

下面來對ASTC方法來求介于0到2π的角的三角函數值的總結：

1、畫出象限圖，確定在該圖中你感興趣的角在哪里，然后在圖中標出該角；

2、如果你想要的角在x軸或y軸上（既沒有在任何象限中），那么就畫出三角函數的圖像，從圖像中讀取數值；【這個場景在之后有例子說明】

3、否則，找出在代表我們想要的那個角的射線和x軸之間最小的角，這個角被稱為參考角；

4、如果可以，使用那張重要的表來求出參考角的三角函數值，那這是你需要的答案，除了你可能還需要在得到的值前面添加一個負號。

5、使用ASTC圖來決定你是否需要添一個負號。

實踐：

cos(7π/4)：

1、畫出象限：

由于7/4是介于3/2和2之間的，所以在第四象限。

2、找到參考角：

而參考角應該是2π【注意不是0哦，因為我們必須往上走到2π】和7π/4的差，也就是π/4，如下：

3、根據那張重要表求出參考角的三角函數值：

cos(π/4)它的值為：

4、使用ASTC圖來決定你是否要添加一個負號：

根據ASTC圖，可以得知第四象限的正負性：

所以結果就是：

tan(9π/13)：

同樣的步驟求解：

1、畫出象限：

9/13介于1/2和1之間，所以在第二象限。

2、找到參考角：

參考角是π和9π/13的差，所以π-9π/13=4π/13：

3、根據那張重要表求出參考角的三角函數值：

tan(4π/13)這個值是多少呀，貌似不在我們的重要表中：

那咋辦，這里就寫成：

tan(9π/13) = tan(4π/13)，因為你無法再化簡了。

4、使用ASTC圖來決定你是否要添加一個負號：

由于在第二象限的正負性為：

所以最終結果為tan(9π/13) = -tan(4π/13)。

其實你可以用計算器算出它的值，如下：

但是！！！這里只能是一個近似值，不應該用=號表示，而應該是用近似符號：

通常如果題目木有要求要求近似，其答案就寫：tan(9π/13) = -tan(4π/13)既可。

[0, 2𝝿] 以外的三角函數：

概述：

現然我們討論三角函數的定義域是[0, 2π] 這個范圍了對吧，那如果取大于2π或小于0的角的三角函數呢？

其實并不難，簡單地加上或減去2π的倍數，走到你得到的角在0和2π之間，比如450°和90°其實是等價的，換成弧度，也就是5π/2和π/2弧度是等價的角，其實旋轉角度可以還可以加大，于是乎就有等價于π/2的角的一個家族了：

那我們還可以順時針旋轉，比如讓你逆時針旋轉-270°，是不是就是到90°了，換成弧度也就是-3π/2和π/2是相等的，于是乎，我們就可以擴展π/2角的一個家族了：

其中這個序列是沒有開端也沒有結束的，其實最終可以用這個集合符號來表示：

其中n可以取所有的整數。?

實踐：

sec(15π/4)：

由于sec是倒數函數，它為：

所以只要把cos(15π/4)求出來，那么它的結果也就出來了，由于15/4是大于2的，我們先試著消去2，15/4 - 2 = 7/4，現在它是介于0到2之間了，所以cos(15π/4)化簡成求cos(7π/4)了，這塊又可以化簡為cos(π/4)，最終結果為：

取其倒數，最終結果就為：

sin(-5π/6)：

有很多方法來求解此問題，這里介紹兩種：

1、將2π的倍數加到-5π/6上，直到結果是介于0到2π的，所以（2π-5π/6）=7π/6，因此sin(-5π/6) = sin(7π/6)，而這個在之前我們已經計算出來了：

所以sin(-5π/6) = -1/2。

2、直接畫圖就可以得出，由于是-5π/6，很明顯是往順時針旋轉了5π/6，它正好在第三象限，如下：

其中參考角就是(π - 5π/6) =?π/6，所以sin(-5π/6) =?sin(π/6) = 1/2，而由于三象限的sin是負數，所以最終結果就是sin(-5π/6) = -1/2。

三角函數的圖像：

記住正弦、余弦、正切函數的圖像會非常有用，因為這些函數都是周期的，也就是意味著它們從左到右反復地重復自己，下面來看一下。

y = sin(x)：

從0到2π的圖像看上去如下：

由于sin(x)以2π為單位重復（我們說sin(x)是x的周期函數，其周期為2π），所以通過重復該模式，我們可以對圖像擴展成如下：

從圖中就可以看到sin(3π/2)=-1，sin(-π) = 0，有了這個圖是不是都不用像之前還得找參考角那么麻煩了？另外該圖像關于原點有180°點對稱性，根據奇函數的定義：

所以，sin(x)是x的奇函數。

y = cos(x)：

它的圖像跟y = sin(x)的類似，x從0到2π上變化時它的圖像為：

同樣利用cos(x)是周期函數及其周期為2π這一事實，圖像又能拓展成：

另外該圖像關于y軸有鏡面對稱性，所以說cos(x)是x的偶函數。

y = tan(x)：?

正切函數跟上面的兩種略有不同，它的周期是π而不是2π，如下：

正切函數是有垂直漸近線的，然后圖像拓展就可以是這樣：

從圖中可以看到當x =?π/2的奇數倍數時，y=tan(x)有垂直漸近線，所以為啥在之前的表格中看到這個：

另外tan(x)是x的奇函數。

倒三角函數：sec、csc、cot：

它們的圖像就直接貼出來了：

總結：

最后就可以得出六大三角函數的對稱性的性質：

sin(x)、tan(x)、cot(x)以及csc(x)都是x的奇函數；cos(x)和sec(x)都是x的偶函數；

因此，對于實數x，就有如下等式：

sin(-x) = -sin(x)

tan(-x) = -tan(x)

cos(-x) = cos(x)

三角恒等式：

等式一：

對于正切與余切可以由正弦和余弦來表示，如下：

等式二：畢達哥拉斯定理

三角恒等式中最重要的就是畢達哥拉斯定理了，如下：

這個等式的驗證也比較簡單：直角三角形的斜邊為1，其中一個角為x，那么三角形的其它兩條邊長就是cos(x)和sin(x)。

然后基于這個等式，又有兩個變形：

首先讓等式兩邊都除以:

就有如下等式：

這公式在微積分中經常會出現。

另外也可以等式兩邊同除以:

于是另一個等式就有：

不過這個等式使用率沒有這么頻繁，但是也需要了解一下。

co等式：

一些三角函數的名字是以音節“co”開頭的【如cos、cot、csc】，它是“互余(complementary)”，說明兩個角是互余的，也就是它們的和是π/2（或90°），其實針對這種三角函數有如下等式：

而它對應有如下幾個等式：

此外你還需要認識到：余角的余角就是原始的角，比如co-co-sin，就是sin，co-co-tan就是tan，這樣我們就可以對上面這三個式子反過來，如下：

關于這塊比較難理解，就當是一個了解吧，待之后有用到時再回來查就成。

倍角公式：

接下來這些恒等式涉及角的和和倍角公式，需要記住如下幾個式子：

同時還可以切換正負號有如下兩個式子成立：

對于上述的sin(A+B)和cos(A+B)，如果令A = B = x，就會得到另一個有用的結果：

其中對于余弦公式，我們根據畢達哥拉斯定理還可以進一步轉換：

此時將：

代入到cos(2x)中，

就又可以變成：

所以你需要知道這么一個等式：

也就是用sin和cos來表示的等式，那如果用sin(x)和cos(x)來表示sin(4x)呢？其實4x可以看成是2倍的2x，根據正弦恒等式：

就有：

然后再應用這兩個恒等式，就可以得到：

類似的，對于cos(4x)，就有：

你會發現，使用倍角公式后，最終都是由sin(x)和cos(x)來組成整個等式了，至于這樣有啥用，待之后用到之后再來體會，目前先了解有這么一個倍角公式既可。

編程實現三角函數的圖像：

最后，回到python編程世界中，用程序來顯示一下三角函數的圖像，這里拿這個三角函數舉例：

y = sin(x)：

直接上代碼了：

運行：

是不是跟課本上的圖一樣：

y = cos(x)：

這個就改一句代碼既可：

跟課本上的也差不多：

總結：

好，關于三角函數的基礎知識就回顧到這了，基本這塊忘得差不多了，這么一回顧讓自己對未來的學習也更加的自信，下次就正式進入高等數學的章節了---極限~~?

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的普林斯顿微积分读本03第二章--编程实现函数图像绘制、三角学回顾的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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