第 2 章 三角學回顧

學習微積分必須要了解三角學。

• 用弧度度量的角與三角函數的基本知識；
• 實軸上的三角函數（不只是介于0⁰和90⁰;
• 三角函數的圖像；
• 三角恒等式。

2.1 基本知識

首先要回憶的是弧度的概念。旋轉一周，我們說成2$\pi$弧度而不是360⁰。半徑為1個單位的圓的周長是2$\pi$個單位，這個圓的一個扇形的弧長就是這個扇形的圓心角的弧度。

$$用弧度度量的角=\frac{\pi }{180}\times 用度度量的角$$
由三角形定義的三角函數（正弦、余弦、正切、正割sec ['sekEnd]、余割csc ['kau’si:kEnt]、余切）：
$$sin(\theta )=\frac{對邊}{斜邊}cos(\theta )=\frac{鄰邊}{斜邊}tan(\theta )=\frac{對邊}{鄰邊}$$

$$csc(x)=\frac{1}{sin(x)}sec(x)=\frac{1}{cos(x)}cot(x)=\frac{1}{tan(x)}$$

0$\frac{\pi }{6}$$\frac{\pi }{4}$$\frac{\pi }{3}$$\frac{\pi }{2}$

sin	0	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{\sqrt{2}}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	1
cos	1	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{\sqrt{2}}$	$\frac{1}{2}$	0
tan	0	$\frac{1}{\sqrt{3}}$	1	$\sqrt{3}$	*

2.2 擴展三角函數定義域

任意角三角函數定義：
$$sin(\theta )=\frac{y}{r}cos(\theta )=\frac{x}{r}tan(\theta )=\frac{y}{x}$$

參考角：表示角$\theta$的射線和x軸之間的最小的角。

2.2.1 ASTC方法

畫出象限圖，確定在該圖中你感興趣的角在哪里,然后，在圖表中標出該角。

如果你想要的角在x軸或y軸上(即沒有在任何象限中), 那么,就畫出三角函數的圖像，從圖像中讀取數值(2.3節有一些例子)。

否則，找出在代表我們想要的那個角的射線和x軸間最小的角，這個角被稱為參考角。

如果可以，使用那張重要的表來求出參考角的三角函數的值。那就是你需要的答案，除了你可能還需要在得到的值前面添一個負號。

使用ASTC圖表來決定你是否需要添一個負號。

2.2.2 [0, 2$\pi$] 以外的三角函數

[0, 2π]以外的三角函數可以簡單地加上或減去2π的倍數，直到得到的角在0和2π之間。

2.3 三角函數的圖像

sin(x)、tan(x)、cot(x)，及csc(x)都是x的奇函數。cos(x)和sec(x)都是x的偶函數。

2.4 三角恒等式

正切和余切可以由正弦和余弦來表示：
$$tan(x)=\frac{sin(x)}{cos(x)},cot(x)=\frac{cos(x)}{sin(x）}$$

用三角函數表示的畢達哥拉斯定理：
$$co{s}^2(x)+si{n}^2(x)=1$$
為什么這是畢達哥拉斯定理呢？如果直角三角形的斜邊是1，其中一個角為x，自己驗證三角形的其它兩條邊長就是cos(x)和sin(x)。

畢達哥拉斯定理等式兩邊同除以cos²(x)，能得到：
$$1+ta{n}^2(x)=se{c}^2(x)$$

畢達哥拉斯定理等式兩邊同除以sin²(x)，能得到：（這個公式沒有其它公式出現的那么頻繁）
$$co{t}^2(x)+1=cs{c}^2(x)$$

三角函數中的互余關系：
$$三角函數(x)=co三角函數(\frac{\pi }{2})$$
特別地，有：
$$sin(x)=cos(\frac{\pi }{2}?x),tan(x)=cot(\frac{\pi }{2}?x),sec=csc(\frac{\pi }{2}?x)$$
$$cos(x)=sin(\frac{\pi }{2}?x),cot(x)=tan(\frac{\pi }{2}?x),csc=sec(\frac{\pi }{2}?x)$$

最后，還有一組恒等式值得我們學習。這些恒等式涉及角的和與倍角公式。特別地，我們應該記住下列公式：
$$sin(A+B)=sin(A)cos(B)+cos(A)sin(B)$$
$$cos(A+B)=cos(A)cos(B)?sin(A)sin(B)$$
還應該記住，你可以切換所有的正號和負號，得到一些相關的公式：
$$sin(A?B)=sin(A)cos(B)?cos(A)sin(B)$$
$$cos(A?B)=cos(A)cos(B)+sin(A)sin(B)$$
令A = B = x ，結合畢達哥拉斯定理可得倍角公式：
$$sin(2x)=2sin(x)cos(x)$$
$$cos(2x)=2co{s}^2(x)?1=1?si{n}^2(x)$$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的《普林斯顿微积分读本》笔记-第2章三角学回顾的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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