畢業(yè)論文開題報(bào)告

題 目： 微分方程的數(shù)值解法

院 系)： 理學(xué)院

專 業(yè)： 信息與計(jì)算科學(xué)

學(xué)生姓名： 袁琪 學(xué) 號： 201010010219

指導(dǎo)教師： 肖燁講師

年月日 畢 業(yè) 設(shè) 計(jì)(論 文)開 題 報(bào) 告

1．文獻(xiàn)綜述：結(jié)合畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)課題情況，根據(jù)所查閱的文獻(xiàn)資料，每人撰寫2500字以上的文獻(xiàn)綜述，文后應(yīng)列出所查閱的文獻(xiàn)資料。

常微分方程已有悠久的歷史，而且繼續(xù)保持著進(jìn)一步發(fā)展的活力，主要原因是它的根源深扎在各種實(shí)際問題之中。常微分方程在常微分方程理論中占有重要地位，在工程技術(shù)及力學(xué)和物理學(xué)中都有十分廣泛的應(yīng)用。關(guān)于它的解結(jié)構(gòu)己有十分完美的結(jié)論，但其求解方法卻各有不同，因此.線性微分方程的求解方法成為常微分方程研究的熱點(diǎn)問題之一。

1691年，萊布尼茨用分離變量法解決了形如ydx/dy=f(x)g(y)的方程。同年，他又解出了一階齊次方程=f(y/x)。1693年，萊布尼茨給出了線性方程dy/dx=p(x)y+q(x)的通解表達(dá)式。1743年，歐拉定義了通解和特解的概念，同時還給出了恰當(dāng)方程的解法和常系數(shù)線性齊次方程的特征根法。皮亞拿和比卡，他們先后于1875年和1876年給出了常微分方程的逐次逼近法。1881年，龐加萊創(chuàng)立了常微分方程的定性理論。同時，此理論的一系列課題成為動力系統(tǒng)的開端。1892年，數(shù)學(xué)家李雅普諾夫開創(chuàng)了微分方程運(yùn)動穩(wěn)定性理論研究。

20世紀(jì)30年代直至現(xiàn)在，是常微分方程各個領(lǐng)城迅速發(fā)展、形成各自相對獨(dú)立的而又緊密聯(lián)在一起的分支學(xué)科的時期。

1927－1945年間定性理論的研究主要是跟無線電技術(shù)聯(lián)系在一起的。第二次世界大戰(zhàn)期間由于通訊等方面的要求越來越高，大大地激發(fā)了對無線電技術(shù)的研究，特別是非線性振動理論的研究得到了迅速的發(fā)展。

40年代后數(shù)學(xué)家們的注意力主要集中在抽象動力系統(tǒng)的拓?fù)涮卣? 如閉軌是否存在、結(jié)構(gòu)是否穩(wěn)定等, 對于二維系統(tǒng)已證明可以通過奇點(diǎn)及一些特殊的閉軌和集合來判斷結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性與否；而對于一般系統(tǒng)這個問題尚未解決。在動力系統(tǒng)理論方面, 我國著名數(shù)學(xué)家廖山濤教授, 用從典范方程組到阻礙集一整套理論和方法, 解決了一系列主要問題, 特別是C’封閉引理的證明, 對結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的充要條件等方面都作出了主要貢獻(xiàn)。

在當(dāng)代由電力網(wǎng)、城市交通網(wǎng)、自動運(yùn)輸網(wǎng)、數(shù)字通訊網(wǎng)、靈活批量生產(chǎn)網(wǎng)、復(fù)雜的工業(yè)系統(tǒng)、指令控制系統(tǒng)等提出大系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是常微分方程組描述的。對這些系統(tǒng)的穩(wěn)定性研究, 引起了越來越多學(xué)者的興趣, 但目前得到的成果仍然只是初步的。

目前常微分方程的研究領(lǐng)城比以往任何時候都廣泛，大致有九個分支學(xué)科：一般理論；邊值問題；定性理論；穩(wěn)定性理論；泛函微分方程和差分方程；微分方程的漸近理論；巴拿赫空間及其他抽象空間的微分方程；控制理論問題以及隨機(jī)微分方程和方程組。這些領(lǐng)域都有不少數(shù)學(xué)家在從事工作，每年發(fā)表的文獻(xiàn)總數(shù)在1000篇以上.例如，一般理論仍然是常微分方程最活躍的領(lǐng)城之一。近二十年來，由于研究繼電控制系統(tǒng)等實(shí)際問題提出了一類右端不連續(xù)常微分方程系統(tǒng)和廣義常微分方程。由此就要求對解重新定義, 即廣義解的定義問題。與此同時又提出這類解的存在性、唯一性問題。再如，在自動控制、生物學(xué)、醫(yī)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)城中提出了一類數(shù)學(xué)模型, 類似一般的常微分方程, 但其解的未來狀態(tài), 不僅依賴于初始狀態(tài), 而且與過去的狀態(tài)有關(guān)。這些數(shù)學(xué)模型被概括為所謂泛函微分方程(Funstion Diff,Eqs,簡寫為FDE)，成為常微分方程的重要分支學(xué)科。這類方程早在1750年歐拉就已經(jīng)提出，但20世紀(jì)前只有個別工作，1900年—1948年間從各個方面提出的FDE逐漸增多，但仍未成為一個獨(dú)立分支。1949年后貝爾曼(R.Bellman，1920,8,20，美國數(shù)學(xué)家)等建立了普遍存在唯一性、穩(wěn)定性定理后，才成為一個獨(dú)立的數(shù)學(xué)分支。目前這類方程的穩(wěn)定性同樣是頭等重要的問題。

常微分方程是數(shù)學(xué)學(xué)科各專業(yè)的一門基礎(chǔ)課，是整個數(shù)學(xué)課程體系中一個重要組成部分。它是數(shù)學(xué)分析和高等代數(shù)的后續(xù)課程起著承上啟下的作用，同時也是常微分方程學(xué)科本身近代發(fā)展方向的重要基礎(chǔ)。 常微分方程課程內(nèi)容包括以下七個部分：1. 基本概念，2.一階微分方程的初等積分法，3.一階微分方程的解的存在定理，4.高階微分方程，5.線性微分方程組,6.非線性微分方程,7.一階線性偏微分方程

常微分方程的研究還與其他學(xué)科領(lǐng)域的結(jié)合而出現(xiàn)各種新的研究分支，如控制論、 種群生態(tài)學(xué)、分支理論、泛函微分方程、脈沖微分方程、

總結(jié)

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